]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
minor changes; fixing \gamma_{\text{iso}}
authorfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 25 Feb 2013 19:07:45 +0000 (19:07 +0000)
committerfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 25 Feb 2013 19:07:45 +0000 (19:07 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28558 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/doc/intro-step-42.tex
deal.II/examples/step-42/doc/intro.dox

index efc55f8804de9865239359414e59bc951fac7d21..811781ad02a4312554860fd4419fcf6f2ef01319 100644 (file)
@@ -49,10 +49,12 @@ with $u\in H^2(\Omega),\Omega\subset\mathbb{R}^3$.  The vector valued
 function $u$ denotes the displacement in the deformable body. The first two lines describe the
 elasto-plastic material behavior. Therein the equation shows the
 strain of the deformation $\varepsilon (u)$ as the additive decomposition of the
-elastic part $A\sigma$ and the plastic part $\lambda$. $A$ is defined as the compliance tensor of fourth order which contains some material constants and $\sigma$ as the
-symmetric stress tensor of second order. So we have to consider the inequality in the second
-row component-by-component and in a pointwise sense. Furthermore we have to
-distinguish two cases.\\
+elastic part $A\sigma$ and the plastic part $\lambda$. $A$ is defined as the
+compliance tensor of fourth order which contains some material constants and
+$\sigma$ as the symmetric stress tensor of second order. So we have to consider
+the inequality in the second row in a pointwise sense where $\lambda(\tau -
+\sigma)$ is the inner product of two symmetric tensors of second order.
+Furthermore we have to distinguish two cases.\\
 The continuous and convex function $\mathcal{F}$ denotes the von Mises flow function
 $$\mathcal{F}(\tau) = \vert\tau^D\vert - \sigma_0ΒΈ\quad\text{with}\quad \tau^D
 = \tau - \dfrac{1}{3}tr(\tau)I,$$
index ead68f8d84623c2fb49c49f68757ab1db21b3fd0..7ede21fef964f72a80d4efeb513192b273308f75 100644 (file)
@@ -49,8 +49,9 @@ function $u$ denotes the displacement in the deformable body. The first two line
 elasto-plastic material behavior. Therein the equation shows the
 strain of the deformation $\varepsilon (u)$ as the additive decomposition of the
 elastic part $A\sigma$ and the plastic part $\lambda$. $A$ is defined as the compliance tensor of fourth order which contains some material constants and $\sigma$ as the
-symmetric stress tensor of second order. So we have to consider the inequality in the second
-row component-by-component and in a pointwise sense. Furthermore we have to
+symmetric stress tensor of second order. So we have to consider
+the inequality in the second row in a pointwise sense where $\lambda(\tau -
+\sigma)$ is the inner product of two symmetric tensors of second order. Furthermore we have to
 distinguish two cases.
 
 The continuous and convex function $\mathcal{F}$ denotes the von Mises flow function
@@ -119,14 +120,14 @@ Therein $\varepsilon$ denotes the linearised deformation tensor with $\varepsilo
 Most materials - especially metals - have the property that they show some hardening effects during the forming process.
 There are different constitutive laws to describe those material behaviors. The
 simplest one is called linear isotropic hardening described by the flow function
-$\mathcal{F}(\tau,\eta) = \vert\tau^D\vert - (\sigma_0 + \gamma{\text{iso}}\eta)$ where
+$\mathcal{F}(\tau,\eta) = \vert\tau^D\vert - (\sigma_0 + \gamma^{\text{iso}}\eta)$ where
 $\eta$ is the norm of the plastic strain $\eta = \vert \varepsilon -
 A\sigma\vert$.
-It can be considered by establishing an additional term in our primal-mixed formulation:\\
+It can be considered by establishing an additional term in our primal-mixed formulation:
 Find a pair $\lbrace(\sigma,\xi),u\rbrace\in \Pi (W\times L^2(\Omega,\mathbb{R}))\times V^+$ with
-@f{gather*}\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma{\text{iso}}\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))@f}
+@f{gather*}\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma^{\text{iso}}\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))@f}
 @f{gather*}\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,@f}
-with the hardening parameter $\gamma{\text{iso}} > 0$.
+with the hardening parameter $\gamma^{\text{iso}} > 0$.
 
 Now we want to derive a primal problem which only depends on the displacement $u$. For that purpose we
 set $\eta = \xi$ and eliminate the stress $\sigma$ by applying the projection
@@ -140,17 +141,17 @@ Find the displacement $u\in V^+$ with
 @f{gather*}\left(P_{\Pi}(C\varepsilon(u)),\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,@f}
 with the projection:
 @f{gather*}P_{\Pi}(\tau):=\begin{cases}
-                        \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0 +  \gamma{\text{iso}}\xi,\\
-                        \hat\alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0 +  \gamma{\text{iso}}\xi,
+                        \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0 +  \gamma^{\text{iso}}\xi,\\
+                        \hat\alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0 +  \gamma^{\text{iso}}\xi,
                         \end{cases}@f}
 with the radius
-@f{gather*}\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma{\text{iso}}\xi .@f}
+@f{gather*}\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma^{\text{iso}}\xi .@f}
 With the relation $\xi = \vert\varepsilon(u) - A\sigma\vert$ it is possible to eliminate $\xi$ inside the projection $P_{\Pi}$:\\
 @f{gather*}P_{\Pi}(\tau):=\begin{cases}
                         \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0,\\
                         \alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0,
                         \end{cases}@f}
-@f{gather*}\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma{\text{iso}}}{2\mu+\gamma{\text{iso}}}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,@f}
+@f{gather*}\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma^{\text{iso}}}{2\mu+\gamma^{\text{iso}}}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,@f}
 with a further material parameter $\mu>0$ called shear modulus. We refer that
 this only possible for isotropic plasticity.
 

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.