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authorWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Sun, 14 Feb 2010 00:01:49 +0000 (00:01 +0000)
committerWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Sun, 14 Feb 2010 00:01:49 +0000 (00:01 +0000)
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deal.II/examples/step-25/doc/results.dox

index aebb044ac6e5f07800bba05009f1bec7b317a2cb..4abd99cca911e249dcaea3ee7353350d1966cd6e 100644 (file)
@@ -9,22 +9,22 @@ each case, the respective grid is refined uniformly 6 times, i.e. $h\sim
 <h3>An (1+1)-d Solution</h3>
 The first example we discuss is the so-called 1D (stationary) breather
 solution of the sine-Gordon equation. The breather has the following
-closed-form expression, as mentioned in the Introduction: 
+closed-form expression, as mentioned in the Introduction:
 \f[
-u_{\mathrm{breather}}(x,t) = -4\arctan \left(\frac{m}{\sqrt{1-m^2}} \frac{\sin\left(\sqrt{1-m^2}t +c_2\right)}{\cosh(mx+c_1)} \right), 
+u_{\mathrm{breather}}(x,t) = -4\arctan \left(\frac{m}{\sqrt{1-m^2}} \frac{\sin\left(\sqrt{1-m^2}t +c_2\right)}{\cosh(mx+c_1)} \right),
 \f]
 where $c_1$, $c_2$ and $m<1$ are constants. In the simulation below, we have chosen $c_1=0$, $c_2=0$, $m=0.5$. Moreover, it is know that the period of oscillation of the breather is $2\pi\sqrt{1-m^2}$, hence we have chosen $t_0=-5.4414$ and $t_f=2.7207$ so that we can observe three oscillations of the solution. Then, taking $u_0(x) = u_{\mathrm{breather}}(x,t_0)$, $\theta=0$ and $k=h/10$, the program computed the following solution.
 
-\image html step-25.1d-breather.gif "Animation of the 1D stationary breather." width=5cm
+@image html step-25.1d-breather.gif "Animation of the 1D stationary breather." width=5cm
 
 Though not shown how to do this in the program, another way to visualize the
 (1+1)-d solution is to use output generated by the DataOutStack class; it
 allows to "stack" the solutions of individual time steps, so that we get
 2D space-time graphs from 1D time-dependent
 solutions. This produces the space-time plot below instead of the animation
-above. 
+above.
 
-\image html step-25.1d-breather_stp.png "A space-time plot of the 1D stationary breather." width=5cm
+@image html step-25.1d-breather_stp.png "A space-time plot of the 1D stationary breather." width=5cm
 
 Furthermore, since the breather is an analytical solution of the sine-Gordon
 equation, we can use it to validate our code, although we have to assume that
@@ -36,7 +36,7 @@ the numerical solution and the function described by the
 simulation shown in the two images above, the $L^2$ norm of the error in the
 finite element solution at each time step remained on the order of
 $10^{-2}$. Hence, we can conclude that the numerical method has been
-implemented correctly in the program. 
+implemented correctly in the program.
 
 
 <h3>A few (2+1)D Solutions</h3>
@@ -53,13 +53,13 @@ where $a_0$, $\vartheta$ and $\lambda$ are constants. In the simulation below
 we have chosen $a_0=\lambda=1$. Notice that if $\vartheta=\pi$ the kink is
 stationary, hence it would make a good solution against which we can
 validate the program in 2D because no reflections off the boundary of the
-domain occur. 
+domain occur.
 
-The simulation shown below was performed with $u_0(x) = u_{\mathrm{kink}}(x,t_0)$, $\theta=\frac{1}{2}$, $k=20h$, $t_0=1$ and $t_f=500$. The $L^2$ norm of the error of the finite element solution at each time step remained on the order of $10^{-2}$, showing that the program is working correctly in 2D, as well as 1D. Unfortunately, the solution is not very interesting, nonetheless we have included a snapshot of it below for completeness. 
+The simulation shown below was performed with $u_0(x) = u_{\mathrm{kink}}(x,t_0)$, $\theta=\frac{1}{2}$, $k=20h$, $t_0=1$ and $t_f=500$. The $L^2$ norm of the error of the finite element solution at each time step remained on the order of $10^{-2}$, showing that the program is working correctly in 2D, as well as 1D. Unfortunately, the solution is not very interesting, nonetheless we have included a snapshot of it below for completeness.
 
-\image html step-25.2d-kink.png "Stationary 2D kink." width=5cm
+@image html step-25.2d-kink.png "Stationary 2D kink." width=5cm
 
-Now that we have validated the code in 1D and 2D, we move to a problem where the analytical solution is unknown. 
+Now that we have validated the code in 1D and 2D, we move to a problem where the analytical solution is unknown.
 
 To this end, we rotate the kink solution discussed above about the $z$
 axis: we let  $\vartheta=\frac{\pi}{4}$. The latter results in a
@@ -71,22 +71,22 @@ to pick $\theta=\frac{2}{3}$ because for any $\theta\le\frac{1}{2}$
 oscillations arose at the boundary, which are likely due to the scheme
 and not the equation, thus picking a value of $\theta$ a good bit into
 the "exponentially damped" spectrum of the time stepping schemes
-assures these oscillations are not created.  
+assures these oscillations are not created.
 
-\image html step-25.2d-angled_kink.gif "Animation of a moving 2D kink, at 45 degrees to the axes of the grid, showing boundary effects." width=5cm
+@image html step-25.2d-angled_kink.gif "Animation of a moving 2D kink, at 45 degrees to the axes of the grid, showing boundary effects." width=5cm
 
 Another interesting solution to the sine-Gordon equation (which cannot be
 obtained analytically) can be produced by using two 1D breathers to construct
-the following separable 2D initial condition: 
+the following separable 2D initial condition:
 \f[
-  u_0(x) = 
-  u_{\mathrm{pseudobreather}}(x,t_0) = 
+  u_0(x) =
+  u_{\mathrm{pseudobreather}}(x,t_0) =
   16\arctan \left(
     \frac{m}{\sqrt{1-m^2}}
     \frac{\sin\left(\sqrt{1-m^2}t_0\right)}{\cosh(mx_1)} \right)
   \arctan \left(
     \frac{m}{\sqrt{1-m^2}}
-    \frac{\sin\left(\sqrt{1-m^2}t_0\right)}{\cosh(mx_2)} \right), 
+    \frac{\sin\left(\sqrt{1-m^2}t_0\right)}{\cosh(mx_2)} \right),
 \f]
 where $x=(x_1,x_2)\in{R}^2$, $m=0.5<1$ as in the 1D case we discussed
 above. For the simulation shown below, we have chosen $\theta=\frac{1}{2}$,
@@ -94,7 +94,7 @@ $k=10h$, $t_0=-5.4414$ and $t_f=2.7207$. The solution is pretty interesting
 --- it acts like a breather (as far as the pictures are concerned); however,
 it appears to break up and reassemble, rather than just oscillate.
 
-\image html step-25.2d-pseudobreather.gif "Animation of a 2D pseudobreather." width=5cm
+@image html step-25.2d-pseudobreather.gif "Animation of a 2D pseudobreather." width=5cm
 
 
 <a name="extensions"></a>

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.