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Some minor changes to the step-79 documentation 12305/head
authorJean-Paul Pelteret <jppelteret@gmail.com>
Sun, 23 May 2021 20:34:13 +0000 (22:34 +0200)
committerJean-Paul Pelteret <jppelteret@gmail.com>
Tue, 25 May 2021 16:47:52 +0000 (18:47 +0200)
examples/step-79/doc/intro.dox
examples/step-79/step-79.cc

index df186bfbe00b8b17a5da5b27516aa2282e9c6825..2d737e5bf3eea8265ee3eb4b344a493cb331e3dc 100644 (file)
@@ -6,7 +6,7 @@ structure that is bearing some load. Ideally, we would like to minimize the
 maximum stress placed on a structure by selecting a region $E$ where material is
 placed. In other words,
 @f[
-  \text{Minimize}\| \boldsymbol{\sigma} (\mathbf{u}) \|_\infty
+  \text{minimize}\| \boldsymbol{\sigma} (\mathbf{u}) \|_\infty
 @f]
 @f[
   \text{subject to } |E|\leq V_{\max},
@@ -35,7 +35,7 @@ measure of the potential energy stored in an object due to its deformation, but
 also works as a measure of total deformation over the structure.
 
 @f[
-  \text{Minimize  } \int_E \frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} dV
+  \text{minimize  } \int_E \frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} dV
 @f]
 @f[
   \text{subject to } \|E\| \leq V_{\max}
@@ -91,10 +91,10 @@ optimization problem. Use of SIMP then turns the optimization problem into the
 following:
 
 @f[
-  \text{Minimize  } \int_\Omega \frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}(\rho) : \boldsymbol{\varepsilon}(\rho) d_\Omega
+  \text{minimize  } \int_\Omega \frac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}(\rho) : \boldsymbol{\varepsilon}(\rho) d\Omega
 @f]
 @f[
-  \text{subject to } \int_\Omega \rho(x) d_\Omega= V_{\max},
+  \text{subject to } \int_\Omega \rho(x) d\Omega= V_{\max},
 @f]
 @f[
   0<\rho_{\min}\leq \rho(x) \leq 1,
@@ -103,7 +103,7 @@ following:
 
   \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}(\rho) + \mathbf{F} = 0 \quad \text{on } \Omega
 @f]
-The final constraint, the balance of linear momentum (sometimes referred to as the elasticity equation),
+The final constraint, the balance of linear momentum (which we will refer to as the elasticity equation),
  gives a method for finding $\boldsymbol{\sigma}$ and $\boldsymbol{\varepsilon}$ given the density $\rho$.
 
 <h3>Elasticity Equation</h3>
@@ -123,7 +123,7 @@ $\mathbf{u}$ and $\boldsymbol{\sigma}$ as solution variables (as is done in mixe
 formulations).
 
 Furthermore, we will make the assumption that the material is linear isotropic,
-in which case the stress-strain tensor can be expressed in terms of the Lam\'{e}
+in which case the stress-strain tensor can be expressed in terms of the Lam&eacute;
 parameters $\lambda,\mu$ such that
 @f{align}
   \boldsymbol{\sigma} &= \rho^p (\lambda \text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) \mathbf{I} + 2 \mu \boldsymbol{\varepsilon}) , \\
@@ -242,21 +242,21 @@ the objective function and the constraints by multiplying the constraints by
 Lagrange multipliers. Specifically, we will use the following symbols for the
 Lagrange multipliers for the various constraints:
 <ol>
-    <li> $\mathbf{y}_1 $ - a Lagrange multiplier corresponding to the
-    elasticity constraint </li>
-    <li> $y_2$ - a Lagrange multiplier corresponding to the convolution
-    filter constraint </li>
-    <li> $z_1$ - a Lagrange multiplier corresponding to the lower slack variable </li>
-    <li> $z_2$ - a Lagrange multiplier corresponding to the upper slack variable. </li>
+    <li> $\mathbf{y}_1 $: a Lagrange multiplier corresponding to the
+    elasticity constraint, </li>
+    <li> $y_2$: a Lagrange multiplier corresponding to the convolution
+    filter constraint, </li>
+    <li> $z_1$: a Lagrange multiplier corresponding to the lower slack variable, and </li>
+    <li> $z_2$: a Lagrange multiplier corresponding to the upper slack variable. </li>
 </ol>
 With these variables, the Lagrangian function reads as follows:
 
 @f{align}{
   \mathcal{L} =& \int_{\partial\Omega} \mathbf{u} \cdot \mathbf{t} d\partial\Omega
-   - \alpha \int_\Omega \left(\log(s_1) + \log(s_2)\right) d\Omega-  \left(\int_\Omega
+   - \alpha \int_\Omega \left(\log(s_1) + \log(s_2)\right) d\Omega-  \int_\Omega
    \rho^p \left(\frac{\mu}{2}\left(\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{y}_1):\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}))
    \right) + \lambda \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \nabla \cdot \mathbf{y}_1
-   \right) d\Omega \right)- \int_{\partial \Omega} \mathbf{y}_1 \cdot \mathbf{t} d\partial\Omega \right) \\
+   \right)\right) d\Omega - \int_{\partial \Omega} \mathbf{y}_1 \cdot \mathbf{t} d\partial\Omega  \\
    & -\int_\Omega y_2 (\rho - H(\varrho)) d\Omega - \int_\Omega z_1 (\varrho-s_1) d\Omega
    - \int_\Omega z_2 (1 - s_2 -\varrho) d\Omega
 @f}
@@ -345,13 +345,14 @@ relationships are also inequalities. We will address the nonlinearity using a
 Newton method to compute search directions, and come back to how to deal with
 the inequalities below when talking about step length procedures.
 
-Newton's method applied to the equations above results in the following system.
-Here, variational derivatives with respect to the $\{\bullet\}$ variable are taken
- in the $c_{\{\bullet\}}$ direction. This gives
+Newton's method applied to the equations above results in the system of equations
+listed below.
+Therein, variational derivatives with respect to the $\{\bullet\}$ variable are
+taken in the $c_{\{\bullet\}}$ direction.
 
 <ol>
-<li> Stationarity - these equations ensure we are at a critical point of the
-objective function when constrained
+<li> Stationarity: These equations ensure we are at a critical point of the
+objective function when constrained.
 
 Equation 1
 @f{align}{
@@ -387,7 +388,7 @@ Equation 3
 @f]
 </li>
 
-<li> Primal Feasibility - these equations ensure the equality constraints
+<li> Primal Feasibility: These equations ensure the equality constraints
 are met.
 
 Equation 4
@@ -421,8 +422,8 @@ Equation 7
 @f]
 </li>
 
-<li>Complementary Slackness - these equations essentially ensure the barrier
-is met - in the final solution, we need $s^T z = 0$
+<li>Complementary Slackness: These equations essentially ensure the barrier
+is met - in the final solution, we need $s^T z = 0$.
 
 Equation 8
 @f[
@@ -437,9 +438,9 @@ Equation 9
 @f]
 </li>
 
-<li>Dual Feasibility - Multiplier on slacks and slack variables must be kept
+<li>Dual Feasibility: The Lagrange multiplier on slacks and slack variables must be kept
 greater than 0. (This is the only part not implemented in the
-SANDTopOpt::assemble_system() function)
+`SANDTopOpt::assemble_system()` function.)
 @f[
   s,z \geq 0
 @f]
@@ -564,7 +565,7 @@ penalty parameter should be in the next iteration, rather than using reduction
 factors that are independent of the current solution. That said, such methods
 are also more complicated and we will not do this here.
 
-<h3>Merit Function</h3>
+<h3>Merit %Function</h3>
 
 The algorithm outlined above makes use of a "merit function". Merit functions
 are used to determine whether a step from $x_k$ to a proposed point $x_{k+1}$ is
@@ -596,7 +597,8 @@ there exists some $p_0$ so that for any $p > p_0$, the merit function has its
 minima at the same location as the original problem. This penalty parameter is
 updated (by recommendation of Nocedal and Wright @cite Benson2002) as follows:
 @f[
-  p > \frac{\frac{1}{2} \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{x} - \mathbf{x}^T \cdot \nabla f}{\|c_i\|_{l_\infty}, i \in \mathcal{E}} ,
+  p > \frac{\frac{1}{2} \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{x} - \mathbf{x}^T \cdot \nabla f}{\|c_i\|_{l_\infty}}
+  \quad , i \in \mathcal{E},
 @f]
 where $\mathbf{H}$ is the Hessian of the objective function, $\mathbf{x}$ is a vector of our
 decision (primal) variables, $f$ is the objective function, and $c_i$ is the error on a
index d89e0ab17089a0635be11fee2ef61493c1b0ef51..4a2f50236e4a117949732d1a0ff92fbf39594617 100644 (file)
@@ -464,7 +464,7 @@ namespace SAND
     // The use of the symbolic names defined in namespace
     // `SolutionComponents` helps understand what each of the
     // following terms corresponds to, but it also makes the
-    // expressions lengthy and unwieldy: An term such as
+    // expressions lengthy and unwieldy: A term such as
     // `coupling[SolutionComponents::density_upper_slack_multiplier<dim>][SolutionComponents::density<dim>]`
     // just doesn't read very well, and would either have to be
     // split over several lines or run off the right edge of
@@ -792,9 +792,9 @@ namespace SAND
     // us how far off our filtered density is from the filter
     // applied to the unfiltered density. That is because while at
     // the solution of the nonlinear problem, we have
-    // $\rho=H\sigma$, but at intermediate iterations, we in
-    // general have $\rho^k\neq H\sigma^k$ and the "residual"
-    // $\rho^k-H\sigma^k$ will then appear as the right hand side
+    // $\rho=H\varrho$, but at intermediate iterations, we in
+    // general have $\rho^k\neq H\varrho^k$ and the "residual"
+    // $\rho^k-H\varrho^k$ will then appear as the right hand side
     // of one of the Newton update equations that we compute
     // below.
     BlockVector<double> filtered_unfiltered_density_solution =

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.