]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
Move introduction to doxygen file
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 19 Oct 2006 22:06:00 +0000 (22:06 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 19 Oct 2006 22:06:00 +0000 (22:06 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@14029 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-21/doc/intro.dox
deal.II/examples/step-21/doc/yanli_project_introduction.tex [deleted file]

index f693a95d3c31963458fb66307e06efd20503e999..c232b6bcefbe57043def5728df09b0862f6d09b8 100644 (file)
@@ -1 +1,219 @@
 <a name="Intro"></a> <h1>Introduction</h1>
+
+This program grew out of a student project by Yan Li at Texas A&amp;M
+University. Most of the work for this program is by her.
+
+In this project, we propose a numerical simulation for two phase
+flow problem in porous media. The two phase flow system includes one
+elliptic equation and one nonlinear transport equation. We apply
+mixed finite element method and Discontinuous Galerkin method for
+this system. Some numerical results for two dimensional case are
+given by $RT_{0}\times DQ_{0}\times DQ_{0}$.
+
+The numerical computation is based on $dealII$. We use vector shape
+functions from step9, DG method from step12, mixed method and Schur
+complement from step20 and many many useful tools from the library.
+
+<h2>Two Phase Flow Problem</h2>
+
+The modeling of two phase flow in porous media is important for both
+environmental rededication and the management of petroleum
+reservoirs. Practical situations involving two phase flow include
+the dispersal of a nonaqueous phase liquid in an aquifer or the
+displacement of a non-aqueous heterogeneity on the flow and
+transport. Simulation models, if they are to provide realistic
+predictions, must accurately account for these effects.
+
+In our project,we consider a kind of periodic permeability,our
+numerical result shows that the heterogeneity effects are simulated
+accurately.
+
+Consider two phase flow in a reservoir $\Omega$ under the assumption
+that the displacement is dominated by viscous effects; i.e. we
+neglect the effects of gravity, compressibility, and capillary
+pressure. Porosity will be considered to be constant. The two phase
+will be referred to as water and oil, designated by subscripts $w$
+and $o$, respectively. We write Darcy's for each phase as follows:
+@f{eqnarray*}
+\mathbf{u}_{j} = \frac{k_{rj}(S)}{\mu_{j}} \mathbf{K} \cdot \nabla p
+@f}
+ where, $\mathbf{u}_{j}$ is the phase velocity, $K$ is the
+permeability tensor, $k_{rj}$ is the relative permeability to phase
+$j$($j=o,w$),$S$ is the water saturation(volume fraction), $P$ is
+pressure and $\mu_{j}$ is the viscosity of phase $j$($j=o,w$).
+
+Combining Darcy's law with a statement of conservation of mass
+allows us to express the governing equations in terms of the
+so-called pressure and saturation equations:
+@f{eqnarray*}
+\nabla \cdot (\mathbf{K}(x,y)\lambda(S) \nabla p)= q(x,y) && \forall(x,y)\in\Omega\\
+ S_{t} + \mathbf{u} \cdot \nabla F(S) = 0&& \forall(x,y)\in\Omega
+@f}
+
+
+ where, $\lambda$ is the total mobility, f is the fractional
+flow of water, $q$ is a source term and $\mathbf{u}$ is the total
+velocity, which are respectively given by:
+@f[\mathbf{u} =
+\mathbf{u}_{o} + \mathbf{u}_{w} = -\lambda(S) \mathbf{K}\cdot\nabla
+p@f]
+@f[\lambda(S) = \frac{k_{rw}(S)}{\mu_{w}}+\frac{k_{ro}(S)}{\mu_{o}}@f]
+@f[F(S) = \frac{k_{rw}(S)/\mu_{w}}{k_{rw}(S)/\mu_{w} + k_{ro}(S)/\mu_{o}}@f]
+
+
+<h2>Discretization</h2>
+
+ For simplicity, in our project we will assume no
+source $q=0$ and the heterogeneous porous medium is isotropic
+$\mathbf{K}(x,y) =
+k(x,y) \mathbf{I}$.
+
+Our two dimensional numerical simulation will be done on unit cell
+$\Omega = [0,1]\times [0,1]$ for $t\in [0,T]$.
+\f{eqnarray}
+\mathbf{u}(x,y)+\mathbf{K}(x,y)\lambda(S) \nabla p= 0 && \forall(x,y)\in\Omega, \forall t\in [0,T]\\
+\nabla \cdot\mathbf{u}(x,y)= 0 && \forall(x,y)\in\Omega, \forall t \in [0,T] \\
+S_{t} + \mathbf{u} \cdot \nabla F(S) = 0&& \forall(x,y)\in\Omega,
+\forall t \in [0,T]
+\f}
+ Boundary conditions are:
+\f[
+\begin{array}{cr}
+p(x,y)=1 & \forall(x,y)\in \Gamma_{1}:=\{(x,y)\in \partial \Omega: x=0\}\\
+p(x,y)=0 & \forall(x,y)\in  \Gamma_{2}:=\{(x,y)\in \partial \Omega: x=1\}\\
+\mathbf{u}(x,y)\cdot \mathbf{n}=0 & \forall(x,y)\in
+\partial\Omega \setminus(\Gamma_{1}\bigcup \Gamma_{2})
+\end{array}
+\f]
+
+Initial conditions are:
+\f[
+\begin{array}{cr}
+S(x,y,t=0)= 1& \forall (x,y) \in \Gamma_{1}\\
+S(x,y,t=0) = 0 & \forall(x,y)\in \partial \Omega \setminus
+\Gamma_{1}
+\end{array}
+\f]
+
+We apply mixed finite method on velocity and pressure. To be
+well-posed, we choose Raviart-Thomas spaces $RT_{k}$ for
+$\mathbf{u}$ and discontinuous elements of class $DQ_{k}$ for $p$,
+then the mixed
+system is:
+
+Find $(\mathbf{u},p)\in RT_{k}\times DQ_{k}$ such that:
+@f{eqnarray*}
+\sum_{\kappa}\{ \int _{\kappa}(K \lambda)^{-1} \mathbf{u}\cdot
+\mathbf{v} dx - \int_{\kappa} p \nabla \cdot \mathbf{v} dx\}
+ =- \int_{\Gamma _{1}} \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}&&  \forall\mathbf{v}\in RT_{k}(\Omega)\\
+\sum_{\kappa}\{\int (\nabla \cdot \mathbf{u}) q dx\} = 0 && \forall
+q\in DQ_{k}(\Omega)
+@f}
+For saturation, we also use discontinuous finite element method.
+i.e. Find $S^{n+1} \in DQ_{k}$ such that for all $ \phi \in DQ_{k}$,
+the following formulation holds:
+@f{eqnarray*}
+\sum_{\kappa}\{\int_{\kappa}\frac{S^{n+1}-S^{n}}{\triangle t} \phi
+dx + \int_{\kappa} (\mathbf{u}^{n+1}\cdot \nabla F(S^{n})) \phi
+dx\} =0
+@f}
+Integrating by parts:
+@f{eqnarray*}
+\nonumber
+ \sum_{\kappa}\{\int_{\kappa}S^{n+1} \phi dx +\triangle t
+\int_{\partial \kappa}F(S^{n})( \mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} )
+\phi dx &-\triangle t\int_{\kappa}  F(S^{n})( \mathbf{u^{n+1}}\cdot
+\nabla
+\phi )dx\}\\
+&= \sum_{\kappa}\int_{\kappa} S^{n} \phi dx
+@f}
+where $\mathbf{n}$ denotes the unit outward normal to the
+boundary $\partial \kappa$. And here we can use $u^{n+1}$ instead of
+$u^{n}$ is because that we view $(u^{n+1},p^{n+1},S^{n+1})$ as
+a block vector,$u^{n+1}$ could be implement in the coefficient function for saturation.
+We believe the saturation is computed more accurately in this way.
+
+Considering the discontinuity of the discrete function $S_h$ on
+interelement faces, the flux $\mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} $ is
+computed as:
+ @f{eqnarray*}
+&&\int_{\partial \kappa}F(S^{n}) (\mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n})
+\phi dx =\\
+\nonumber && \int_{\partial \kappa _{+}}
+F(S^{n,+})(\mathbf{u}^{n+1,+}\cdot \mathbf{n})\phi dx
++\int_{\partial \kappa _{-}} F(S^{n,-})(\mathbf{u}^{n+1,-}\cdot
+\mathbf{n})\phi dx
+@f}
+
+where, $\partial \kappa _{-}:= \{x\in
+\partial\kappa , \mathbf{u}(x) \cdot \mathbf{n}<0\}$ denotes the inflow boundary
+and$\partial \kappa _{+}:= \{\partial \kappa \setminus \partial
+\kappa_{-}\}$ is the outflow part of the boundary. By the
+discontinuity of$ S_{h}$ , $F(S^{n,-})$ takes the value of
+neighboring cell,$F(S^{n+})$ takes the value of cell $\kappa$.
+
+<h2>Implementation</h2>
+
+We use
+$dealII$ to implement our mixed and DG system. The main idea is same
+with step-20 but there are some new problems we have to consider:
+
+ $(1)$ We has the three blocks vector $(u,p,S)$ , in which
+all the functions are dependent on time. i.e. At each time step we
+need project the $solution$ into $old-solution$, using
+$old-solution$ to get a new $solution$.
+Keep doing this until the last time step;
+
+At time $t=t^{n+1}$ , suppose $old-solution=(u^{n},p^{n},S^{n})$ is
+known, in $assemble-system()$ part, we assemble system matrix as:
+\f[
+\begin{array}{cccccccccccc}
+\lceil &M(S^{n}) &B^{T}& 0 &\rceil & \lceil& \mathbf{u}^{n+1}&\rceil& &\lceil& 0 &\rceil\\
+|      &B&    0 & 0 & |     &|      & p^{n+1} &|        &=&|     & q &|\\
+\lfloor&\triangle t \nabla F(S^n)&    0& I & \rfloor & \lfloor
+&S^{n+1} & \rfloor & & \lfloor& S^{n}& \rfloor
+\end{array}
+\f]
+
+In $solve()$ part, we solve the first two equations independent of
+the third equation, since $M( S^n)$ is already known. As in step-20,
+using vector base functions, Schur complement with a
+preconditioner and CG method, we get $u^{n+1}$and $p^{n+1}$.
+
+Then, with the above $u^{n+1}$ and $p^{n+1}$, we could compute
+$S^{n+1}$ by :
+@f{eqnarray*}
+\sum_{\kappa}\int_{\kappa}S^{n+1} \phi dx&&=
+\sum_{\kappa}\{\int_{\kappa} S^{n} \phi dx+\Delta t\int_{\kappa}
+F(S^{n}) \mathbf{u^{n+1}}\cdot \nabla \phi dx\\
+\nonumber && -\Delta t \int_{\partial \kappa_{-}}F(S^{n,-})
+\mathbf{u}^{n+1,-}\cdot \mathbf{n} \phi dx -\Delta t \int_{\partial
+\kappa_{+}}F(S^{n}) \mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} \phi dx\}
+@f}
+Now, project solution $(u^{n+1},p^{n+1},S^{n+1})$ into
+$old-solution$, do the above process for next time step.
+
+$(2)$ The numerical flux term is related with neighbor cells. In our
+implementation $solve( )$, we do the following on each cell:
+
+For each face, compute the flux $\mathbf{u}\cdot F(S)$, the flux is
+negative means it is an in-flow face. Then if this in-flow face is
+on the boundary $\Gamma_{1}$:$F(S^{-})=F(1)$; If the in-flow
+face is not on boundary, $F(S^{-})=F(S|_{neighbor})$.
+Flux is positive means it is an out-flow face, we just use $ F(S)$ on
+current cell.
+
+All the other functions are commented in code, please see next part
+- the commented program.
+
+<h2>Test Case</h2>
+
+Our two phase flow are chosen as water and oil. The total mobility
+is : @f[\lambda (S) = \frac{1.0}{\mu} S^2 +(1-S)^2@f] Permeability is
+:
+@f[K(x,y)=\mathbf{k}(x,y)I=\frac{1.0}{2+1.99\sin(2\pi\frac{2x-y}{\epsilon})}
+I@f]
+ Fractional flow of water is: @f[F(S)=\frac{S^2}{S^2+\mu (1-S)^2}@f]
+Choose $\epsilon=0.05$ , viscosity $\mu=0.2$.
+The resulting solution will be shown in result part.
diff --git a/deal.II/examples/step-21/doc/yanli_project_introduction.tex b/deal.II/examples/step-21/doc/yanli_project_introduction.tex
deleted file mode 100644 (file)
index 64779eb..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,218 +0,0 @@
-\documentclass[12pt]{article}
-\topmargin 0pt \oddsidemargin 0pt \evensidemargin 0pt
-\textwidth=14truecm \textheight=21.5truecm
-\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
-\begin{document}
-\author{Yan Li}
-\title{A Numerical Simulation for Two Phase Flow}
-\maketitle
-\section{Introduction}
-\subsection{Abstract}
-
-In this project, we propose a numerical simulation for two phase
-flow problem in porous media. The two phase flow system includes one
-elliptic equation and one nonlinear transport equation. We apply
-mixed finite element method and Discontinuous Galerkin method for
-this system. Some numerical results for two dimensional case are
-given by $RT_{0}\times DQ_{0}\times DQ_{0}$.
-\\
-The numerical computation is based on $dealII$. We use vector shape
-functions from step9, DG method from step12, mixed method and Schur
-complement from step20 and many many useful tools from the library.
-
-\subsection{Two Phase Flow Problem }
-The modeling of two phase flow in porous media is important for both
-environmental rededication and the management of petroleum
-reservoirs. Practical situations involving two phase flow include
-the dispersal of a nonaqueous phase liquid in an aquifer or the
-displacement of a non-aqueous heterogeneity on the flow and
-transport. Simulation models, if they are to provide realistic
-predictions, must accurately account for these effects.
-%However,
-%because permeability heterogeneity occurs at many different length
-%scales, numerical flow models cannot in general resolve all of the
-%scales of variation.Therefore, approaches are needed for
-%representing the effects of subgrid scale variations on larger scale
-%flow results. Typically, upscaled or multiscale models are employed
-%for such systems. \\
-In our project,we consider a kind of periodic permeability,our
-numerical result shows that the heterogeneity effects are simulated accurately.\\
-Consider two phase flow in a reservoir $\Omega$ under the assumption
-that the displacement is dominated by viscous effects; i.e. we
-neglect the effects of gravity, compressibility, and capillary
-pressure. Porosity will be considered to be constant. The two phase
-will be referred to as water and oil, designated by subscripts $w$
-and $o$, respectively. We write Darcy's for each phase as follows:
-\begin{eqnarray}
-\mathbf{u}_{j} = \frac{k_{rj}(S)}{\mu_{j}} \mathbf{K} \cdot \nabla p
-\end{eqnarray}
-\indent where, $\mathbf{u}_{j}$ is the phase velocity, $K$ is the
-permeability tensor, $k_{rj}$ is the relative permeability to phase
-$j$($j=o,w$),$S$ is the water saturation(volume fraction), $P$ is
-pressure and $\mu_{j}$ is the viscosity of phase $j$($j=o,w$).\\
-Combining Darcy's law with a statement of conservation of mass
-allows us to express the governing equations in terms of the
-so-called pressure and saturation equations:
-\begin{eqnarray}
-\nabla \cdot (\mathbf{K}(x,y)\lambda(S) \nabla p)= q(x,y) && \forall(x,y)\in\Omega\\
- S_{t} + \mathbf{u} \cdot \nabla F(S) = 0&& \forall(x,y)\in\Omega
-\end {eqnarray}
-
-
-\indent where, $\lambda$ is the total mobility, f is the fractional
-flow of water, $q$ is a source term and $\mathbf{u}$ is the total
-velocity, which are respectively given by:
-$$\mathbf{u} =
-\mathbf{u}_{o} + \mathbf{u}_{w} = -\lambda(S) \mathbf{K}\cdot\nabla
-p$$
-$$\lambda(S) = \frac{k_{rw}(S)}{\mu_{w}}+\frac{k_{ro}(S)}{\mu_{o}}$$
-$$F(S) = \frac{k_{rw}(S)/\mu_{w}}{k_{rw}(S)/\mu_{w} + k_{ro}(S)/\mu_{o}}$$
-
-
-\subsection{Discretization}
-
- For simplicity, in our project we will assume no
-source $q=0$ and the heterogeneous porous medium is isotropic
-$\mathbf{K}(x,y) =
-k(x,y) \mathbf{I}$. \\
-Our two dimensional numerical simulation will be done on unit cell
-$\Omega = [0,1]\times [0,1]$ for $t\in [0,T]$.
-\begin {eqnarray}
-\mathbf{u}(x,y)+\mathbf{K}(x,y)\lambda(S) \nabla p= 0 && \forall(x,y)\in\Omega, \forall t\in [0,T]\\
-\nabla \cdot\mathbf{u}(x,y)= 0 && \forall(x,y)\in\Omega, \forall t \in [0,T] \\
-S_{t} + \mathbf{u} \cdot \nabla F(S) = 0&& \forall(x,y)\in\Omega,
-\forall t \in [0,T]
-\end {eqnarray}
- Boundary conditions are:
-\[
-\begin {array}{cr}
-p(x,y)=1 & \forall(x,y)\in \Gamma_{1}:=\{(x,y)\in \partial \Omega: x=0\}\\
-p(x,y)=0 & \forall(x,y)\in  \Gamma_{2}:=\{(x,y)\in \partial \Omega: x=1\}\\
-\mathbf{u}(x,y)\cdot \mathbf{n}=0 & \forall(x,y)\in
-\partial\Omega \setminus(\Gamma_{1}\bigcup \Gamma_{2})
-\end {array}
-\]
-\\
-Initial conditions are:
-\[
-\begin {array}{cr}
-S(x,y,t=0)= 1& \forall (x,y) \in \Gamma_{1}\\
-S(x,y,t=0) = 0 & \forall(x,y)\in \partial \Omega \setminus
-\Gamma_{1}
-\end {array}
-\]
-\\
-We apply mixed finite method on velocity and pressure. To be
-well-posed, we choose Raviart-Thomas spaces $RT_{k}$ for
-$\mathbf{u}$ and discontinuous elements of class $DQ_{k}$ for $p$,
-then the mixed
-system is:\\
-Find $(\mathbf{u},p)\in RT_{k}\times DQ_{k}$ such that:
-\begin {eqnarray}
-\sum_{\kappa}\{ \int _{\kappa}(K \lambda)^{-1} \mathbf{u}\cdot
-\mathbf{v} dx - \int_{\kappa} p \nabla \cdot \mathbf{v} dx\}
- =- \int_{\Gamma _{1}} \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}&&  \forall\mathbf{v}\in RT_{k}(\Omega)\\
-\sum_{\kappa}\{\int (\nabla \cdot \mathbf{u}) q dx\} = 0 && \forall
-q\in DQ_{k}(\Omega)
-\end {eqnarray}
-For saturation, we also use discontinuous finite element method.
-i.e. Find $S^{n+1} \in DQ_{k}$ such that for all $ \phi \in DQ_{k}$,
-the following formulation holds:
-\begin {eqnarray}
-\sum_{\kappa}\{\int_{\kappa}\frac{S^{n+1}-S^{n}}{\triangle t} \phi
-dx + \int_{\kappa} (\mathbf{u}^{n+1}\cdot \nabla F(S^{n})) \phi
-dx\} =0
-\end {eqnarray}
-Integrating by parts:
-\begin {eqnarray}
-\nonumber
- \sum_{\kappa}\{\int_{\kappa}S^{n+1} \phi dx +\triangle t
-\int_{\partial \kappa}F(S^{n})( \mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} )
-\phi dx &-\triangle t\int_{\kappa}  F(S^{n})( \mathbf{u^{n+1}}\cdot
-\nabla
-\phi )dx\}\\
-&= \sum_{\kappa}\int_{\kappa} S^{n} \phi dx
-\end {eqnarray}
-
-\indent where,$\mathbf{n}$ denotes the unit outward normal to the
-boundary $\partial \kappa$. And here we can use $u^{n+1}$ instead of
-$u^{n}$ is because that we view $(u^{n+1},p^{n+1},S^{n+1})$ as
-a block vector,$u^{n+1}$ could be implement in the coefficient function for saturation.
-We believe the saturation is computed more accurately in this way.\\
-Considering the discontinuity of the discrete function $S_h$ on
-interelement faces, the flux $\mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} $ is
-computed as:
- \begin{eqnarray}
-&&\int_{\partial \kappa}F(S^{n}) (\mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n})
-\phi dx =\\
-\nonumber && \int_{\partial \kappa _{+}}
-F(S^{n,+})(\mathbf{u}^{n+1,+}\cdot \mathbf{n})\phi dx
-+\int_{\partial \kappa _{-}} F(S^{n,-})(\mathbf{u}^{n+1,-}\cdot
-\mathbf{n})\phi dx
-\end{eqnarray}
-
-where, $\partial \kappa _{-}:= \{x\in
-\partial\kappa , \mathbf{u}(x) \cdot \mathbf{n}<0\}$ denotes the inflow boundary
-and$\partial \kappa _{+}:= \{\partial \kappa \setminus \partial
-\kappa_{-}\}$ is the outflow part of the boundary. By the
-discontinuity of$ S_{h}$ , $F(S^{n,-})$ takes the value of
-neighboring cell,$F(S^{n+})$ takes the value of cell $\kappa$.
-
-\subsection{Implementation}
-We use
-$dealII$ to implement our mixed and DG system. The main idea is same
-with step-20 but there are some new problems we have to consider:\\
-\indent $(1)$ We has the three blocks vector $(u,p,S)$ , in which
-all the functions are dependent on time. i.e. At each time step we
-need project the $solution$ into $old-solution$, using
-$old-solution$ to get a new $solution$.
-Keep doing this until the last time step;\\
-At time $t=t^{n+1}$ , suppose $old-solution=(u^{n},p^{n},S^{n})$ is
-known, in $assemble-system()$ part, we assemble system matrix as:
-\[
-\begin {array}{cccccccccccc}
-\lceil &M(S^{n}) &B^{T}& 0 &\rceil & \lceil& \mathbf{u}^{n+1}&\rceil& &\lceil& 0 &\rceil\\
-|      &B&    0 & 0 & |     &|      & p^{n+1} &|        &=&|     & q &|\\
-\lfloor&\triangle t \nabla F(S^n)&    0& I & \rfloor & \lfloor
-&S^{n+1} & \rfloor & & \lfloor& S^{n}& \rfloor
-\end {array}
-\]
-\\
-In $solve()$ part, we solve the first two equations independent of
-the third equation, since $M( S^n)$ is already known. As in step-20,
-using vector base functions, Schur complement with a
-preconditioner and CG method, we get $u^{n+1}$and $p^{n+1}$. \\
-Then, with the above $u^{n+1}$ and $p^{n+1}$, we could compute
-$S^{n+1}$ by :
-\begin {eqnarray}
-\sum_{\kappa}\int_{\kappa}S^{n+1} \phi dx&&=
-\sum_{\kappa}\{\int_{\kappa} S^{n} \phi dx+\Delta t\int_{\kappa}
-F(S^{n}) \mathbf{u^{n+1}}\cdot \nabla \phi dx\\
-\nonumber && -\Delta t \int_{\partial \kappa_{-}}F(S^{n,-})
-\mathbf{u}^{n+1,-}\cdot \mathbf{n} \phi dx -\Delta t \int_{\partial
-\kappa_{+}}F(S^{n}) \mathbf{u}^{n+1}\cdot \mathbf{n} \phi dx\}
-\end {eqnarray}
-Now, project solution $(u^{n+1},p^{n+1},S^{n+1})$ into
-$old-solution$, do the above process for next time step.\\
- \indent
-$(2)$ The numerical flux term is related with neighbor cells.In our
-implementation $solve( )$, we do the following on each cell: \\
-For each face, compute the flux $\mathbf{u}\cdot F(S)$, the flux is
-negative means it is an in-flow face. Then if this in-flow face is
-on the boundary $\Gamma_{1}$:$F(S^{-})=F(1)$; If the in-flow
-face is not on boundary, $F(S^{-})=F(S|_{neighbor})$.
-Flux is positive means it is an out-flow face, we just use $ F(S)$ on current cell.\\
-All the other functions are commented in code, please see next part
-- the commented program.
-
-\subsection{Test Case}
-Our two phase flow are chosen as water and oil. The total mobility
-is : $$\lambda (S) = \frac{1.0}{\mu} S^2 +(1-S)^2$$ Permeability is
-:
-$$K(x,y)=\mathbf{k}(x,y)I=\frac{1.0}{2+1.99\sin(2\pi\frac{2x-y}{\epsilon})}
-I$$
- Fractional flow of water is: $$F(S)=\frac{S^2}{S^2+\mu (1-S)^2}$$
-Choose $\epsilon=0.05$ , viscosity $\mu=0.2$. \\
-The resulting solution will be shown in result part.
-
-\end{document}

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.