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Minor adjustments.
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Sat, 27 Jul 2013 15:35:03 +0000 (15:35 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Sat, 27 Jul 2013 15:35:03 +0000 (15:35 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@30175 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/doc/intro-step-42.tex

index a6c6b1f75269582ec6922c38483eccae0e663708..7f2e577d33393ff4811dce185cf38ab4935908fe 100644 (file)
@@ -83,7 +83,7 @@ is zero with the outward normal $n$. If there is contact ($u_n = g$) the tangent
 vanishes, because we consider a frictionless situation and the normal stress is
 negative. The gap $g$ comes with the start configuration of the obstacle and the
 deformable body. We refer that you have to ensure that the obstacle does not hit
-the boundary of $\Gamma_C$ 
+the boundary of $\Gamma_C$
 
 \section{Derivation of the variational inequality}
 
@@ -227,7 +227,8 @@ Again the first case is for elastic and the second for plastic deformation.
 
 Just as in step-41 we compose a saddle point problem out of the minimisation
 problem. Again we do so to gain a formulation that allows us to solve a linear
-system of equations finally.\\
+system of equations finally.
+
 We introduce a Lagrange multiplier $\lambda$ and the convex cone $K\subset W'$,
 $W'$ dual space of the trace space $W:=\left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C)
 \right]^{\textrm{dim}}$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$, $$K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
@@ -236,9 +237,8 @@ of Lagrange multipliers, where $\langle\cdot,\cdot\rangle$
 denotes the duality pairing, i.e. a boundary integral, between $W'$ and $W$.
 Intuitively, $K$ is the cone of all "non-positive functions", except that $ K\subset
 \left( \left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C) \right]^{\textrm{dim}} \right)' $ and
-so contains other objects besides regular functions as well. This yields:\\
+so contains other objects besides regular functions as well. This yields:
 
-\noindent
 \textit{Find $u\in V$ and $\lambda\in K$ such that}
 \begin{align*}
  \hat{a}(u,v) + b(v,\lambda) &= f(v),\quad &&v\in V\\
@@ -304,7 +304,7 @@ method for the contact. It sums up the results of the sections before and works
  $$\mathcal{F}_{k+1}:=\lbrace p\in\mathcal{S}:\Lambda^k_p +
  c\left(\left[B^TU^k\right]_p - G_p\right) \leq 0\rbrace.$$
  Projection $U^k$ so that it holds the second equation in (2)
- $$\hat U^K := P_{\mathcal{A}_{k+1}}(U^k).$$ 
+ $$\hat U^K := P_{\mathcal{A}_{k+1}}(U^k).$$
  \item[(5)] If $\mathcal{A}_{k+1} = \mathcal{A}_k$ and $\vert
  F\left(U^{k}\right) \vert < \delta$ then stop, else set $k=k+1$ and go to
  step (1).
@@ -353,7 +353,7 @@ above that we only linearize the problem. In step (2) we have to solve a linear
 criteria. $\mathcal{A}_{k+1} = \mathcal{A}_k$ makes sure that the contact zones
 are iterated out and the second ensures an accurate enough residual which means that the plastic zones are also iterated out.\\
 A similar method can also be found in Brunssen, Schmid, Schaefer, Wohlmuth: A
-fast and robust iterative solver for nonlinear contact problems using a 
+fast and robust iterative solver for nonlinear contact problems using a
 primal-dual active set strategy and algebraic multigrid, Int. J. Numer.
 Meth. Engng, 2007, 69, pp. 524-543. But in advance we apply a line search to
 obtain a more robust method regarding the start value. Solving an elastic
@@ -379,12 +379,12 @@ results it yields a quite reasonable adaptive mesh for the contact zone.
 
 This tutorial is essentailly a mixture of step-40 and step-41 but instead of
 PETSc we let the Trilinos library deal with parallelizing the linear algebra
-(like in step-32). Since we are trying to solve a similar problem like in 
+(like in step-32). Since we are trying to solve a similar problem like in
 step-41 we will use the same methods but now in parallel.
 
 Another difficulty is the handling of the different constraints from
-(the dirichlet conditons), the hanging nodes and the inequality condition that 
-arises from the contact. For this purpose we create three objects of type 
+(the dirichlet conditons), the hanging nodes and the inequality condition that
+arises from the contact. For this purpose we create three objects of type
 ConstraintMatrix.
 
 Beside the ConstitutiveLaw class there is another new class called Input. This

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.