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Fix some minor things.
authorwolf <wolf@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Tue, 18 Jul 2000 14:32:01 +0000 (14:32 +0000)
committerwolf <wolf@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Tue, 18 Jul 2000 14:32:01 +0000 (14:32 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@3180 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/doc/tutorial/chapter-2.step-by-step/step-9.data/intro.tex

index 533336f1e4a9df3758421a287012fbaefc7e3c97..b5de177771054eaf34f5e9c69642d37b4e990781 100644 (file)
@@ -1,6 +1,6 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% intro.html was generated from this file 
-%% with latex2html and some handwork
+%% with latex2html and some hand work
 %% (copying out the relevant parts from the 
 %% generated html file, replacing IMG=
 %% by the proper path)
@@ -15,7 +15,7 @@
 
 In this example, our aims are the following:
 \begin{itemize}
-  \item solve the advection equation $-\beta \cdot \nabla u = f$;
+  \item solve the advection equation $\beta \cdot \nabla u = f$;
   \item show how we can use multiple threads to get quicker to
     the desired results if we have a multi-processor machine;
   \item develop a simple refinement criterion.
@@ -23,13 +23,15 @@ In this example, our aims are the following:
 While the second aim is difficult to describe in general terms without
 reference to the code, we will discuss the other two aims in the
 following. The use of multiple threads will then be detailed at the
-relevant places within the program.
+relevant places within the program. Furthermore, there exists a report on this
+subject, which is also available online from the ``Documentation'' section of
+the deal.II homepage.
 
 \paragraph{Discretizing the advection equation.}
 In the present example program, we shall numerically approximate the
 solution of the advection equation
 $$
-  -\beta \cdot \nabla u = f,
+  \beta \cdot \nabla u = f,
 $$
 where $\beta$ is a vector field that describes advection direction and
 speed (which may be dependent on the space variables), $f$ is a source
@@ -57,7 +59,7 @@ $\vec x\in\partial\Omega$. This definition is quite intuitive, since
 as $\vec n$ points outward, the scalar product with $\beta$ can only
 be negative if the transport direction $\beta$ points inward, i.e. at
 the inflow boundary. The mathematical theory states that we must not
-pose any boundary condition an the outflow part of the boundary.
+pose any boundary condition on the outflow part of the boundary.
 
 As it is stated, the transport equation is not stably solvable using
 the standard finite element method, however. The problem is that
@@ -86,9 +88,9 @@ $$
   -
   (\beta\cdot \vec n u_h, v_h)_{\partial\Omega_-}
   =
-  (f, v_h + \delta \beta\cdot\nabla v_h).
+  (f, v_h + \delta \beta\cdot\nabla v_h)_\Omega
   -
-  (\beta\cdot \vec n g, v_h)_{\partial\Omega_-}
+  (\beta\cdot \vec n g, v_h)_{\partial\Omega_-}.
 $$
 Note that we have included the inflow boundary values into the weak
 form, and that the respective terms to the left hand side operator are
@@ -103,7 +105,7 @@ $$
   (\beta\cdot \vec n \varphi_i, \varphi_j)_{\partial\Omega_-},
 $$
 with basis functions $\varphi_i,\varphi_j$.  However, this is a
-pitfall that happens to every numerical analysist at least once
+pitfall that happens to every numerical analyst at least once
 (including the author): we have here expanded the solution
 $u_h = u_i \varphi_i$, but if we do so, we will have to solve the 
 problem 
@@ -135,7 +137,7 @@ as system matrix. We will assemble this matrix in the program.
 
 There remains the solution of this linear system of equations. As the
 resulting matrix is no more symmetric positive definite, we can't
-employ the usual CG method any more. Suitable for the solution is
+employ the usual CG method any more. Suitable for the solution of
 systems as the one at hand is the BiCGStab (bi-conjugate gradients
 stabilized) method, which is also available in deal.II, so we will use
 it.
@@ -155,9 +157,9 @@ the following domain and functions (in $d=2$ space dimensions):
   &=&
   \left\{
     \begin{array}{ll}
-       \frac 1{10 s^d} & 
-       \text{for $|\vec x-\vec x_0|<s$}, \\
-       0 & \text{else},
+        \frac 1{10 s^d} & 
+        \text{for $|\vec x-\vec x_0|<s$}, \\
+        0 & \text{else},
     \end{array}
   \right.
   \qquad\qquad
@@ -179,10 +181,10 @@ annotations:
 diagonal direction from lower left to upper right, but with a wiggle
 structure superimposed.
 \item The right hand side adds to the field generated by the inflow
-boundary conditions a bulb in the lower left corner, which is the
+boundary conditions a bulb in the lower left corner, which is then
 transported along.
 \item The inflow boundary conditions impose a weighted sinusoidal
-structure that is transorted along with the flow field. Since $|\vec
+structure that is transported along with the flow field. Since $|\vec
 x|\ge 1$ on the boundary, the weighting term never gets very large.
 \end{itemize}
 
@@ -201,7 +203,7 @@ $$
 $$
 where $[\partial n u_h]$ denotes the jump of the normal derivatives
 across a face $\gamma\subset\partial K$ of the cell $K$. It can be
-shown that this error indicator uses a discrete analogon of the second
+shown that this error indicator uses a discrete analogue of the second
 derivatives, weighted by a power of the cell size that is adjusted to
 the linear elements assumed to be in use here:
 $$
@@ -225,8 +227,8 @@ However, for the present case, solutions are usually not even in $H^1$
 Laplace's equation), so the error indicator described above is not
 really applicable. We will thus develop an indicator that is based on
 a discrete approximation of the gradient. Although the gradient often
-does not exist, this is the only criterion available to us, and the
-only one as long as we use continuous elements as in the present
+does not exist, this is the only criterion available to us, at least
+as long as we use continuous elements as in the present
 example. To start with, we note that given two cells $K$, $K'$ of
 which the centers are connected by the vector $\vec y_{KK'}$, we can
 approximate the directional derivative of a function $u$ as follows:

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.