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authorWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Tue, 24 Apr 2012 15:02:52 +0000 (15:02 +0000)
committerWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Tue, 24 Apr 2012 15:02:52 +0000 (15:02 +0000)
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deal.II/examples/step-44/doc/results.dox

index 8e0e243b9703d4036653123527b7843578f0dc8d..c598762c7a59d3f0fc881d81dd415d763a5421cc 100644 (file)
@@ -1,14 +1,14 @@
 <h1>Results</h1>
 
-Firstly, we present a comparison of a series of results with those 
+Firstly, we present a comparison of a series of results with those
 in the literature (see Reese et al (2000)) to demonstrate that the program works as expected.
 
 We begin with a comparison of the convergence with mesh refinement for the $Q_1-DGPM_0-DGPM_0$ and
 $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulations, as summarised in the figure below.
 The vertical displacement of the midpoint of the upper surface of the block is used to assess convergence.
-Both schemes demonstrate good convergence properties for varying values of the load parameter $p/p_0$. 
+Both schemes demonstrate good convergence properties for varying values of the load parameter $p/p_0$.
 The results agree with those in the literature.
-The lower-order formulation typically overestimates the displacement for low levels of refinement, 
+The lower-order formulation typically overestimates the displacement for low levels of refinement,
 while the higher-order interpolation scheme underestimates it, but be a lesser degree.
 This benchmark, and a series of others not shown here, give us confidence that the code is working
 as it should.
@@ -31,10 +31,10 @@ as it should.
 </table>
 
 
-A typical screen output generated by running the problem is shown below. 
+A typical screen output generated by running the problem is shown below.
 The particular case demonstrated is that of the $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation.
-It is clear that, using the Newton-Raphson method, quadratic convergence of the solution is obtained. 
-Solution convergence is achieved within 5 Newton increments for all time-steps. 
+It is clear that, using the Newton-Raphson method, quadratic convergence of the solution is obtained.
+Solution convergence is achieved within 5 Newton increments for all time-steps.
 The converged displacement's $L_2$-norm is several orders of magnitude less than the geometry scale.
 
 @code
@@ -47,13 +47,13 @@ Triangulation:
 
 Timestep 1 @ 0.1s
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-                 SOLVER STEP                   |  LIN_IT   LIN_RES    RES_NORM     RES_U     RES_P      RES_J     NU_NORM      NU_U       NU_P       NU_J 
+                 SOLVER STEP                   |  LIN_IT   LIN_RES    RES_NORM     RES_U     RES_P      RES_J     NU_NORM      NU_U       NU_P       NU_J
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-  0  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     786  2.118e-06  1.000e+00  1.000e+00  0.000e+00  0.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  
-  1  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     552  1.031e-03  8.563e-02  8.563e-02  9.200e-13  3.929e-08  1.060e-01  3.816e-02  1.060e-01  1.060e-01  
-  2  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     667  5.602e-06  2.482e-03  2.482e-03  3.373e-15  2.982e-10  2.936e-03  2.053e-04  2.936e-03  2.936e-03  
-  3  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     856  6.469e-10  2.129e-06  2.129e-06  2.245e-19  1.244e-13  1.887e-06  7.289e-07  1.887e-06  1.887e-06  
-  4  ASM_R  CONVERGED! 
+  0  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     786  2.118e-06  1.000e+00  1.000e+00  0.000e+00  0.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00
+  1  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     552  1.031e-03  8.563e-02  8.563e-02  9.200e-13  3.929e-08  1.060e-01  3.816e-02  1.060e-01  1.060e-01
+  2  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     667  5.602e-06  2.482e-03  2.482e-03  3.373e-15  2.982e-10  2.936e-03  2.053e-04  2.936e-03  2.936e-03
+  3  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     856  6.469e-10  2.129e-06  2.129e-06  2.245e-19  1.244e-13  1.887e-06  7.289e-07  1.887e-06  1.887e-06
+  4  ASM_R  CONVERGED!
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 Relative errors:
 Displacement:  7.289e-07
@@ -66,13 +66,13 @@ v / V_0:    1.000e-09 / 1.000e-09 = 1.000e+00
 
 Timestep 10 @ 1.000e+00s
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-                 SOLVER STEP                   |  LIN_IT   LIN_RES    RES_NORM     RES_U     RES_P      RES_J     NU_NORM      NU_U       NU_P       NU_J 
+                 SOLVER STEP                   |  LIN_IT   LIN_RES    RES_NORM     RES_U     RES_P      RES_J     NU_NORM      NU_U       NU_P       NU_J
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-  0  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     874  2.358e-06  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  
-  1  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     658  2.942e-04  1.544e-01  1.544e-01  1.208e+13  1.855e+06  6.014e-02  7.398e-02  6.014e-02  6.014e-02  
-  2  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     790  2.206e-06  2.908e-03  2.908e-03  7.302e+10  2.067e+03  2.716e-03  1.433e-03  2.716e-03  2.717e-03  
-  3  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     893  2.374e-09  1.919e-06  1.919e-06  4.527e+07  4.100e+00  1.672e-06  6.842e-07  1.672e-06  1.672e-06  
-  4  ASM_R  CONVERGED! 
+  0  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     874  2.358e-06  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00  1.000e+00
+  1  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     658  2.942e-04  1.544e-01  1.544e-01  1.208e+13  1.855e+06  6.014e-02  7.398e-02  6.014e-02  6.014e-02
+  2  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     790  2.206e-06  2.908e-03  2.908e-03  7.302e+10  2.067e+03  2.716e-03  1.433e-03  2.716e-03  2.717e-03
+  3  ASM_R  ASM_K  CST  ASM_SC  SLV  PP  UQPH  |     893  2.374e-09  1.919e-06  1.919e-06  4.527e+07  4.100e+00  1.672e-06  6.842e-07  1.672e-06  1.672e-06
+  4  ASM_R  CONVERGED!
 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 Relative errors:
 Displacement:  6.842e-07
@@ -83,13 +83,13 @@ v / V_0:    1.000e-09 / 1.000e-09 = 1.000e+00
 
 
 
-Using the Timer class, we can discern which parts of the code require the highest computational expense. 
+Using the Timer class, we can discern which parts of the code require the highest computational expense.
 For a case with a large number of degrees-of-freedom (i.e. a high level of refinement), a typical output of the Timer is given below.
-Much of the code in the tutorial has been developed based on the optimisations described, 
-discussed and demonstrated in Step-18 and others. 
-With over 93% of the time being spent in the linear solver, it is obvious that it may be necessary 
-to invest in a better solver for large three-dimensional problems. 
-The SSOR preconditioner is not multi-threaded but is effective for this class of solid problems. 
+Much of the code in the tutorial has been developed based on the optimisations described,
+discussed and demonstrated in Step-18 and others.
+With over 93% of the time being spent in the linear solver, it is obvious that it may be necessary
+to invest in a better solver for large three-dimensional problems.
+The SSOR preconditioner is not multi-threaded but is effective for this class of solid problems.
 It may be beneficial to investigate the use of another solver such as those available through the Trilinos library.
 
 
@@ -114,24 +114,24 @@ We then used ParaView to visualise the results for two cases.
 The first was for the coarsest grid and the lowest-order interpolation method: $Q_1-DGPM_0-DGPM_0$.
 The second was on a refined grid using a $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation.
 The vertical component of the displacement, the pressure $\widetilde{p}$ and the dilatation $\widetilde{J}$ fields
-are shown below. 
+are shown below.
 
 
 For the first case it is clear that the coarse spatial discretisation coupled with large displacements leads to a low quality solution
 (the loading ratio is  $p/p_0=80$).
-Additionally, the pressure difference between elements is very large. 
-The constant pressure field on the element means that the large pressure gradient is not captured. 
+Additionally, the pressure difference between elements is very large.
+The constant pressure field on the element means that the large pressure gradient is not captured.
 However, it should be noted that locking, which would be present in a standard $Q_1$ displacement formulation does not arise
-even in this poorly discretised case. 
-The final vertical displacement of the tracked node on the top surface of the block is still within 12.5% of the converged solution. 
-The pressure solution is very coarse and has large jumps between adjacent cells. 
-It is clear that the volume nearest to the applied traction undergoes compression while the outer extents 
-of the domain are in a state of expansion. 
-The dilatation solution field and pressure field are clearly linked, 
+even in this poorly discretised case.
+The final vertical displacement of the tracked node on the top surface of the block is still within 12.5% of the converged solution.
+The pressure solution is very coarse and has large jumps between adjacent cells.
+It is clear that the volume nearest to the applied traction undergoes compression while the outer extents
+of the domain are in a state of expansion.
+The dilatation solution field and pressure field are clearly linked,
 with positive dilatation indicating regions of positive pressure and negative showing regions placed in compression.
-As discussed in the Introduction, a compressive pressure has a negative sign 
-while an expansive pressure takes a positive sign. 
-This stems from the definition of the volumetric strain energy function 
+As discussed in the Introduction, a compressive pressure has a negative sign
+while an expansive pressure takes a positive sign.
+This stems from the definition of the volumetric strain energy function
 and is opposite to the physically realistic interpretation of pressure.
 
 
@@ -158,19 +158,19 @@ and is opposite to the physically realistic interpretation of pressure.
   </tr>
 </table>
 
-Combining spatial refinement and a higher-order interpolation scheme results in a high-quality solution. 
-Three grid refinements coupled with a $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation produces 
-a result that clearly captures the mechanics of the problem. 
-The deformation of the traction surface is well resolved. 
+Combining spatial refinement and a higher-order interpolation scheme results in a high-quality solution.
+Three grid refinements coupled with a $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation produces
+a result that clearly captures the mechanics of the problem.
+The deformation of the traction surface is well resolved.
 We can now observe the actual extent of the applied traction, with the maximum force being applied
-at the central point of the surface causing the largest compression. 
-Even though very high strains are experienced in the domain, 
-especially at the boundary of the region of applied traction, 
-the solution remains accurate. 
-The pressure field is captured in far greater detail than before. 
-There is a clear distinction and transition between regions of compression and expansion, 
-and the linear approximation of the pressure field allows a refined visualisation 
-of the pressure at the sub-element scale. 
+at the central point of the surface causing the largest compression.
+Even though very high strains are experienced in the domain,
+especially at the boundary of the region of applied traction,
+the solution remains accurate.
+The pressure field is captured in far greater detail than before.
+There is a clear distinction and transition between regions of compression and expansion,
+and the linear approximation of the pressure field allows a refined visualisation
+of the pressure at the sub-element scale.
 It should however be noted that the pressure field remains discontinuous
  and could be smoothed on a continuous grid for the post-processing purposes.
 
@@ -200,25 +200,25 @@ It should however be noted that the pressure field remains discontinuous
   </tr>
 </table>
 
-This brief analysis of the results demonstrates that the three-field formulation is effective 
-in circumventing volumetric locking for highly-incompressible media. 
-The mixed formulation is able to accurately simulate the displacement of a 
-near-incompressible block under compression. 
-The command-line output indicates that the volumetric change under extreme compression resulted in 
+This brief analysis of the results demonstrates that the three-field formulation is effective
+in circumventing volumetric locking for highly-incompressible media.
+The mixed formulation is able to accurately simulate the displacement of a
+near-incompressible block under compression.
+The command-line output indicates that the volumetric change under extreme compression resulted in
 less than 0.01% volume change for a Poisson's ratio of 0.4999.
 
-In terms of run-time, the $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation tends to be more computationally expensive 
-than the $Q_1-DGPM_0-DGPM_0$ for a similar number of degrees-of-freedom 
-(produced by adding an extra grid refinement level for the lower-order interpolation). 
+In terms of run-time, the $Q_2-DGPM_1-DGPM_1$ formulation tends to be more computationally expensive
+than the $Q_1-DGPM_0-DGPM_0$ for a similar number of degrees-of-freedom
+(produced by adding an extra grid refinement level for the lower-order interpolation).
 This is shown in the graph below for a batch of tests run consecutively on a single 4-core (8-thread) machine.
-The increase in computational time for the higher-order method is likely due to 
-the increased band-width required for the higher-order elements. 
-As previously mentioned, the use of a better solver and precondtioner may mitigate the 
-expense of using a higher-order formulation. 
-It was observed that for the given problem using the multithreaded Jacobi preconditioner can reduce the 
+The increase in computational time for the higher-order method is likely due to
+the increased band-width required for the higher-order elements.
+As previously mentioned, the use of a better solver and precondtioner may mitigate the
+expense of using a higher-order formulation.
+It was observed that for the given problem using the multithreaded Jacobi preconditioner can reduce the
 computational runtime by up to 72% (for the worst case being a higher-order formulation with a large number
-of degrees-of-freedom) in comparison to the single-thread SSOR preconditioner. 
-However, it is the author's experience that the Jacobi method of preconditioning may not be suitable for 
+of degrees-of-freedom) in comparison to the single-thread SSOR preconditioner.
+However, it is the author's experience that the Jacobi method of preconditioning may not be suitable for
 some finite-strain problems involving alternative constitutive models.
 
 
@@ -275,5 +275,5 @@ There are a number of obvious extensions for this work:
   (detection and stress calculations) itself. An alternative to
   additional penalty terms in the free-energy functional would be to
   use active set methods such as the one used in step-41.
-- Finally, adaptive mesh refinement, as demonstrated in step-18, could
-  provide additional solution accuracy.
+- Finally, adaptive mesh refinement, as demonstrated in step-6 and
+  step-18, could provide additional solution accuracy.

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.