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make example empty
authorTimo Heister <timo.heister@gmail.com>
Tue, 12 Feb 2019 17:20:02 +0000 (10:20 -0700)
committerTimo Heister <timo.heister@gmail.com>
Tue, 12 Feb 2019 17:20:02 +0000 (10:20 -0700)
examples/step-63/step-63.cc

index 86234e2ac7b0d6c9f8f2f2619f6250c847858040..d2b9a18715f64fc84098ad00a95e1e424d2e5a62 100644 (file)
@@ -1,6 +1,6 @@
 /* ---------------------------------------------------------------------
  *
- * Copyright (C) 2003 - 2018 by the deal.II authors
+ * Copyright (C) 2018 - 2019 by the deal.II authors
  *
  * This file is part of the deal.II library.
  *
  */
 
 // @note: This is work in progress and will be an example for block smoothers
-// in geometric multigrid. For now, this is just step-16.
+// in geometric multigrid.
 
-// @sect3{Include files}
+#include <deal.II/base/exceptions.h>
 
-// Again, the first few include files are already known, so we won't comment
-// on them:
-#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
-#include <deal.II/base/function.h>
-#include <deal.II/base/logstream.h>
-#include <deal.II/base/utilities.h>
-
-#include <deal.II/lac/affine_constraints.h>
-#include <deal.II/lac/vector.h>
-#include <deal.II/lac/full_matrix.h>
-#include <deal.II/lac/sparse_matrix.h>
-#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
-#include <deal.II/lac/precondition.h>
-
-#include <deal.II/grid/tria.h>
-#include <deal.II/grid/tria_accessor.h>
-#include <deal.II/grid/tria_iterator.h>
-#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
-#include <deal.II/grid/grid_refinement.h>
-
-#include <deal.II/dofs/dof_accessor.h>
-#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
-
-#include <deal.II/fe/fe_q.h>
-#include <deal.II/fe/fe_values.h>
-
-#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
-#include <deal.II/numerics/data_out.h>
-#include <deal.II/numerics/error_estimator.h>
-
-// These, now, are the include necessary for the multilevel methods. The first
-// one declares how to handle Dirichlet boundary conditions on each of the
-// levels of the multigrid method. For the actual description of the degrees
-// of freedom, we do not need any new include file because DoFHandler already
-// has all necessary methods implemented. We will only need to distribute the
-// DoFs for the levels further down.
-//
-// The rest of the include files deals with the mechanics of multigrid as a
-// linear operator (solver or preconditioner).
-#include <deal.II/multigrid/mg_constrained_dofs.h>
-#include <deal.II/multigrid/multigrid.h>
-#include <deal.II/multigrid/mg_transfer.h>
-#include <deal.II/multigrid/mg_tools.h>
-#include <deal.II/multigrid/mg_coarse.h>
-#include <deal.II/multigrid/mg_smoother.h>
-#include <deal.II/multigrid/mg_matrix.h>
-
-// We will be using MeshWorker::mesh_loop to loop over the cells, so include it
-// here:
-#include <deal.II/meshworker/mesh_loop.h>
-
-
-// This is C++:
-#include <iostream>
-#include <fstream>
-
-using namespace dealii;
-
-namespace Step16
-{
-  // @sect3{The Scratch and Copy objects}
-  //
-  // We use MeshWorker::mesh_loop() to assemble our matrices. For this, we
-  // need a ScratchData object to store temporary data on each cell (this is
-  // just the FEValues object) and a CopyData object that will contain the
-  // output of each cell assembly. For more details about the usage of scratch
-  // and copy objects, see the WorkStream namespace.
-  template <int dim>
-  struct ScratchData
-  {
-    ScratchData(const Mapping<dim> &      mapping,
-                const FiniteElement<dim> &fe,
-                const unsigned int        quadrature_degree,
-                const UpdateFlags         update_flags)
-      : fe_values(mapping, fe, QGauss<dim>(quadrature_degree), update_flags)
-    {}
-
-    ScratchData(const ScratchData<dim> &scratch_data)
-      : fe_values(scratch_data.fe_values.get_mapping(),
-                  scratch_data.fe_values.get_fe(),
-                  scratch_data.fe_values.get_quadrature(),
-                  scratch_data.fe_values.get_update_flags())
-    {}
-
-    FEValues<dim> fe_values;
-  };
-
-  struct CopyData
-  {
-    unsigned int                         level;
-    FullMatrix<double>                   cell_matrix;
-    Vector<double>                       cell_rhs;
-    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices;
-
-    template <class Iterator>
-    void reinit(const Iterator &cell, unsigned int dofs_per_cell)
-    {
-      cell_matrix.reinit(dofs_per_cell, dofs_per_cell);
-      cell_rhs.reinit(dofs_per_cell);
-
-      local_dof_indices.resize(dofs_per_cell);
-      cell->get_active_or_mg_dof_indices(local_dof_indices);
-      level = cell->level();
-    }
-  };
-
-  // @sect3{The <code>LaplaceProblem</code> class template}
-
-  // This main class is similar to the same class in step-6. As far as
-  // member functions is concerned, the only additions are:
-  // - The <code>assemble_multigrid</code> function that assembles the matrices
-  // that correspond to the discrete operators on intermediate levels.
-  // - The <code>cell_worker</code> function that assembles our PDE on a single
-  // cell.
-  template <int dim>
-  class LaplaceProblem
-  {
-  public:
-    LaplaceProblem(const unsigned int degree);
-    void run();
-
-  private:
-    template <class Iterator>
-    void cell_worker(const Iterator &  cell,
-                     ScratchData<dim> &scratch_data,
-                     CopyData &        copy_data);
-
-    void setup_system();
-    void assemble_system();
-    void assemble_multigrid();
-    void solve();
-    void refine_grid();
-    void output_results(const unsigned int cycle) const;
-
-    Triangulation<dim> triangulation;
-    FE_Q<dim>          fe;
-    DoFHandler<dim>    dof_handler;
-
-    SparsityPattern      sparsity_pattern;
-    SparseMatrix<double> system_matrix;
-
-    AffineConstraints<double> constraints;
-
-    Vector<double> solution;
-    Vector<double> system_rhs;
-
-    const unsigned int degree;
-
-    // The following members are the essential data structures for the multigrid
-    // method. The first four represent the sparsity patterns and the matrices
-    // on individual levels of the multilevel hierarchy, very much like the
-    // objects for the global mesh above.
-    //
-    // Then we have two new matrices only needed for multigrid methods with
-    // local smoothing on adaptive meshes. They convey data between the interior
-    // part of the refined region and the refinement edge, as outlined in detail
-    // in the @ref mg_paper "multigrid paper".
-    //
-    // The last object stores information about the boundary indices on each
-    // level and information about indices lying on a refinement edge between
-    // two different refinement levels. It thus serves a similar purpose as
-    // AffineConstraints, but on each level.
-    MGLevelObject<SparsityPattern> mg_sparsity_patterns;
-    MGLevelObject<SparsityPattern> mg_interface_sparsity_patterns;
-
-    MGLevelObject<SparseMatrix<double>> mg_matrices;
-    MGLevelObject<SparseMatrix<double>> mg_interface_matrices;
-    MGConstrainedDoFs                   mg_constrained_dofs;
-  };
-
-
-  // @sect3{The <code>LaplaceProblem</code> class implementation}
-
-  // Just one short remark about the constructor of the Triangulation:
-  // by convention, all adaptively refined triangulations in deal.II never
-  // change by more than one level across a face between cells. For our
-  // multigrid algorithms, however, we need a slightly stricter guarantee,
-  // namely that the mesh also does not change by more than refinement level
-  // across vertices that might connect two cells. In other words, we must
-  // prevent the following situation:
-  //
-  // @image html limit_level_difference_at_vertices.png ""
-  //
-  // This is achieved by passing the
-  // Triangulation::limit_level_difference_at_vertices flag to the constructor
-  // of the triangulation class.
-  template <int dim>
-  LaplaceProblem<dim>::LaplaceProblem(const unsigned int degree)
-    : triangulation(Triangulation<dim>::limit_level_difference_at_vertices)
-    , fe(degree)
-    , dof_handler(triangulation)
-    , degree(degree)
-  {}
-
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::setup_system}
-
-  // In addition to just distributing the degrees of freedom in
-  // the DoFHandler, we do the same on each level. Then, we follow the
-  // same procedure as before to set up the system on the leaf mesh.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::setup_system()
-  {
-    dof_handler.distribute_dofs(fe);
-    dof_handler.distribute_mg_dofs();
-
-    std::cout << "   Number of degrees of freedom: " << dof_handler.n_dofs()
-              << " (by level: ";
-    for (unsigned int level = 0; level < triangulation.n_levels(); ++level)
-      std::cout << dof_handler.n_dofs(level)
-                << (level == triangulation.n_levels() - 1 ? ")" : ", ");
-    std::cout << std::endl;
-
-
-    solution.reinit(dof_handler.n_dofs());
-    system_rhs.reinit(dof_handler.n_dofs());
-
-    constraints.clear();
-    DoFTools::make_hanging_node_constraints(dof_handler, constraints);
-
-    std::set<types::boundary_id> dirichlet_boundary_ids = {0};
-    Functions::ZeroFunction<dim> homogeneous_dirichlet_bc;
-    const std::map<types::boundary_id, const Function<dim> *>
-      dirichlet_boundary_functions = {
-        {types::boundary_id(0), &homogeneous_dirichlet_bc}};
-    VectorTools::interpolate_boundary_values(dof_handler,
-                                             dirichlet_boundary_functions,
-                                             constraints);
-    constraints.close();
-
-    {
-      DynamicSparsityPattern dsp(dof_handler.n_dofs(), dof_handler.n_dofs());
-      DoFTools::make_sparsity_pattern(dof_handler, dsp, constraints);
-      sparsity_pattern.copy_from(dsp);
-    }
-    system_matrix.reinit(sparsity_pattern);
-
-    // The multigrid constraints have to be initialized. They need to know
-    // where Dirichlet boundary conditions are prescribed.
-    mg_constrained_dofs.clear();
-    mg_constrained_dofs.initialize(dof_handler);
-    mg_constrained_dofs.make_zero_boundary_constraints(dof_handler,
-                                                       dirichlet_boundary_ids);
-
-
-    // Now for the things that concern the multigrid data structures. First, we
-    // resize the multilevel objects to hold matrices and sparsity patterns for
-    // every level. The coarse level is zero (this is mandatory right now but
-    // may change in a future revision). Note that these functions take a
-    // complete, inclusive range here (not a starting index and size), so the
-    // finest level is <code>n_levels-1</code>. We first have to resize the
-    // container holding the SparseMatrix classes, since they have to release
-    // their SparsityPattern before the can be destroyed upon resizing.
-    const unsigned int n_levels = triangulation.n_levels();
-
-    mg_interface_matrices.resize(0, n_levels - 1);
-    mg_matrices.resize(0, n_levels - 1);
-    mg_sparsity_patterns.resize(0, n_levels - 1);
-    mg_interface_sparsity_patterns.resize(0, n_levels - 1);
-
-    // Now, we have to provide a matrix on each level. To this end, we first use
-    // the MGTools::make_sparsity_pattern function to generate a preliminary
-    // compressed sparsity pattern on each level (see the @ref Sparsity module
-    // for more information on this topic) and then copy it over to the one we
-    // really want. The next step is to initialize the interface matrices with
-    // the fitting sparsity pattern.
-    //
-    // It may be worth pointing out that the interface matrices only have
-    // entries for degrees of freedom that sit at or next to the interface
-    // between coarser and finer levels of the mesh. They are therefore even
-    // sparser than the matrices on the individual levels of our multigrid
-    // hierarchy. Therefore, we use a function specifically build for this
-    // purpose to generate it.
-    for (unsigned int level = 0; level < n_levels; ++level)
-      {
-        {
-          DynamicSparsityPattern dsp(dof_handler.n_dofs(level),
-                                     dof_handler.n_dofs(level));
-          MGTools::make_sparsity_pattern(dof_handler, dsp, level);
-
-          mg_sparsity_patterns[level].copy_from(dsp);
-          mg_matrices[level].reinit(mg_sparsity_patterns[level]);
-        }
-        {
-          DynamicSparsityPattern dsp(dof_handler.n_dofs(level),
-                                     dof_handler.n_dofs(level));
-          MGTools::make_interface_sparsity_pattern(dof_handler,
-                                                   mg_constrained_dofs,
-                                                   dsp,
-                                                   level);
-          mg_interface_sparsity_patterns[level].copy_from(dsp);
-          mg_interface_matrices[level].reinit(
-            mg_interface_sparsity_patterns[level]);
-        }
-      }
-  }
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::cell_worker}
-
-  // The cell_worker function is used to assemble the matrix and right-hand side
-  // on the given cell. This function is used for the active cells to generate
-  // the system_matrix and on each level to build the level matrices.
-  //
-  // Note that we also assemble a right-hand side when called from
-  // assemble_multigrid() even though it is not used.
-  template <int dim>
-  template <class Iterator>
-  void LaplaceProblem<dim>::cell_worker(const Iterator &  cell,
-                                        ScratchData<dim> &scratch_data,
-                                        CopyData &        copy_data)
-  {
-    FEValues<dim> &fe_values = scratch_data.fe_values;
-    fe_values.reinit(cell);
-
-    const unsigned int dofs_per_cell = fe_values.get_fe().dofs_per_cell;
-    const unsigned int n_q_points    = fe_values.get_quadrature().size();
-
-    copy_data.reinit(cell, dofs_per_cell);
-
-    const std::vector<double> &JxW = fe_values.get_JxW_values();
-
-    for (unsigned int q = 0; q < n_q_points; ++q)
-      {
-        const double coefficient =
-          (fe_values.get_quadrature_points()[q][0] < 0.0) ? 1.0 : 0.1;
-        //(cell->center().square() < 0.5 * 0.5) ? 10.0:1.0;
-
-        for (unsigned int i = 0; i < dofs_per_cell; ++i)
-          {
-            for (unsigned int j = 0; j < dofs_per_cell; ++j)
-              {
-                copy_data.cell_matrix(i, j) +=
-                  coefficient *
-                  (fe_values.shape_grad(i, q) * fe_values.shape_grad(j, q)) *
-                  JxW[q];
-              }
-            copy_data.cell_rhs(i) += 1.0 * fe_values.shape_value(i, q) * JxW[q];
-          }
-      }
-  }
-
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::assemble_system}
-
-  // The following function assembles the linear system on the active cells of
-  // the mesh. For this, we pass two lambda functions to the mesh_loop()
-  // function. The cell_worker function redirects to the class member function
-  // of the same name, while the copier is specific to this function and copies
-  // local matrix and vector to the corresponding global ones using the
-  // constraints.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::assemble_system()
-  {
-    MappingQ1<dim> mapping;
-
-    auto cell_worker =
-      [&](const typename DoFHandler<dim>::active_cell_iterator &cell,
-          ScratchData<dim> &                                    scratch_data,
-          CopyData &                                            copy_data) {
-        this->cell_worker(cell, scratch_data, copy_data);
-      };
-
-    auto copier = [&](const CopyData &cd) {
-      this->constraints.distribute_local_to_global(cd.cell_matrix,
-                                                   cd.cell_rhs,
-                                                   cd.local_dof_indices,
-                                                   system_matrix,
-                                                   system_rhs);
-    };
-
-    const unsigned int n_gauss_points = degree + 1;
-
-    ScratchData<dim> scratch_data(mapping,
-                                  fe,
-                                  n_gauss_points,
-                                  update_values | update_gradients |
-                                    update_JxW_values |
-                                    update_quadrature_points);
-
-    MeshWorker::mesh_loop(dof_handler.begin_active(),
-                          dof_handler.end(),
-                          cell_worker,
-                          copier,
-                          scratch_data,
-                          CopyData(),
-                          MeshWorker::assemble_own_cells);
-  }
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::assemble_multigrid}
-
-  // The next function is the one that builds the matrices
-  // that define the multigrid method on each level of the mesh. The integration
-  // core is the same as above, but the loop below will go over all existing
-  // cells instead of just the active ones, and the results must be entered into
-  // the correct level matrices. Fortunately, MeshWorker hides most of that from
-  // us, and thus the difference between this function and the previous lies
-  // only in the setup of the assembler and the different iterators in the loop.
-  //
-  // We generate an AffineConstraints<> object for each level containing the
-  // boundary and interface dofs as constrained entries. The corresponding
-  // object is then used to generate the level matrices.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::assemble_multigrid()
-  {
-    MappingQ1<dim>     mapping;
-    const unsigned int n_levels = triangulation.n_levels();
-
-    std::vector<AffineConstraints<>> boundary_constraints(n_levels);
-    for (unsigned int level = 0; level < n_levels; ++level)
-      {
-        IndexSet dofset;
-        DoFTools::extract_locally_relevant_level_dofs(dof_handler,
-                                                      level,
-                                                      dofset);
-        boundary_constraints[level].reinit(dofset);
-        boundary_constraints[level].add_lines(
-          mg_constrained_dofs.get_refinement_edge_indices(level));
-        boundary_constraints[level].add_lines(
-          mg_constrained_dofs.get_boundary_indices(level));
-        boundary_constraints[level].close();
-      }
-
-    auto cell_worker =
-      [&](const typename DoFHandler<dim>::level_cell_iterator &cell,
-          ScratchData<dim> &                                   scratch_data,
-          CopyData &                                           copy_data) {
-        this->cell_worker(cell, scratch_data, copy_data);
-      };
-
-    auto copier = [&](const CopyData &cd) {
-      boundary_constraints[cd.level].distribute_local_to_global(
-        cd.cell_matrix, cd.local_dof_indices, mg_matrices[cd.level]);
-
-      const unsigned int dofs_per_cell = cd.local_dof_indices.size();
-
-      // TODO EXPLAIN:
-
-      for (unsigned int i = 0; i < dofs_per_cell; ++i)
-        for (unsigned int j = 0; j < dofs_per_cell; ++j)
-          if (mg_constrained_dofs.is_interface_matrix_entry(
-                cd.level, cd.local_dof_indices[i], cd.local_dof_indices[j]))
-            {
-              mg_interface_matrices[cd.level].add(cd.local_dof_indices[i],
-                                                  cd.local_dof_indices[j],
-                                                  cd.cell_matrix(i, j));
-            }
-    };
-
-    const unsigned int n_gauss_points = degree + 1;
-
-    ScratchData<dim> scratch_data(mapping,
-                                  fe,
-                                  n_gauss_points,
-                                  update_values | update_gradients |
-                                    update_JxW_values |
-                                    update_quadrature_points);
-
-    MeshWorker::mesh_loop(dof_handler.begin_mg(),
-                          dof_handler.end_mg(),
-                          cell_worker,
-                          copier,
-                          scratch_data,
-                          CopyData(),
-                          MeshWorker::assemble_own_cells);
-  }
-
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::solve}
-
-  // This is the other function that is significantly different in support of
-  // the multigrid solver (or, in fact, the preconditioner for which we use
-  // the multigrid method).
-  //
-  // Let us start out by setting up two of the components of multilevel
-  // methods: transfer operators between levels, and a solver on the coarsest
-  // level. In finite element methods, the transfer operators are derived from
-  // the finite element function spaces involved and can often be computed in
-  // a generic way independent of the problem under consideration. In that
-  // case, we can use the MGTransferPrebuilt class that, given the constraints
-  // of the final linear system and the MGConstrainedDoFs object that knows
-  // about the boundary conditions on the each level and the degrees of
-  // freedom on interfaces between different refinement level can build the
-  // matrices for those transfer operations from a DoFHandler object with
-  // level degrees of freedom.
-  //
-  // The second part of the following lines deals with the coarse grid
-  // solver. Since our coarse grid is very coarse indeed, we decide for a
-  // direct solver (a Householder decomposition of the coarsest level matrix),
-  // even if its implementation is not particularly sophisticated. If our
-  // coarse mesh had many more cells than the five we have here, something
-  // better suited would obviously be necessary here.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::solve()
-  {
-    MGTransferPrebuilt<Vector<double>> mg_transfer(mg_constrained_dofs);
-    mg_transfer.build_matrices(dof_handler);
-
-    FullMatrix<double> coarse_matrix;
-    coarse_matrix.copy_from(mg_matrices[0]);
-    MGCoarseGridHouseholder<> coarse_grid_solver;
-    coarse_grid_solver.initialize(coarse_matrix);
-
-    // The next component of a multilevel solver or preconditioner is that we
-    // need a smoother on each level. A common choice for this is to use the
-    // application of a relaxation method (such as the SOR, Jacobi or Richardson
-    // method) or a small number of iterations of a solver method (such as CG or
-    // GMRES). The mg::SmootherRelaxation and MGSmootherPrecondition classes
-    // provide support for these two kinds of smoothers. Here, we opt for the
-    // application of a single SOR iteration. To this end, we define an
-    // appropriate alias and then setup a smoother object.
-    //
-    // The last step is to initialize the smoother object with our level
-    // matrices and to set some smoothing parameters. The
-    // <code>initialize()</code> function can optionally take additional
-    // arguments that will be passed to the smoother object on each level. In
-    // the current case for the SOR smoother, this could, for example, include
-    // a relaxation parameter. However, we here leave these at their default
-    // values. The call to <code>set_steps()</code> indicates that we will use
-    // two pre- and two post-smoothing steps on each level; to use a variable
-    // number of smoother steps on different levels, more options can be set
-    // in the constructor call to the <code>mg_smoother</code> object.
-    //
-    // The last step results from the fact that we use the SOR method as a
-    // smoother - which is not symmetric - but we use the conjugate gradient
-    // iteration (which requires a symmetric preconditioner) below, we need to
-    // let the multilevel preconditioner make sure that we get a symmetric
-    // operator even for nonsymmetric smoothers:
-    using Smoother = PreconditionSOR<SparseMatrix<double>>;
-    mg::SmootherRelaxation<Smoother, Vector<double>> mg_smoother;
-    mg_smoother.initialize(mg_matrices);
-    mg_smoother.set_steps(2);
-    mg_smoother.set_symmetric(true);
-
-    // The next preparatory step is that we must wrap our level and interface
-    // matrices in an object having the required multiplication functions. We
-    // will create two objects for the interface objects going from coarse to
-    // fine and the other way around; the multigrid algorithm will later use
-    // the transpose operator for the latter operation, allowing us to
-    // initialize both up and down versions of the operator with the matrices
-    // we already built:
-    mg::Matrix<Vector<double>> mg_matrix(mg_matrices);
-    mg::Matrix<Vector<double>> mg_interface_up(mg_interface_matrices);
-    mg::Matrix<Vector<double>> mg_interface_down(mg_interface_matrices);
-
-    // Now, we are ready to set up the V-cycle operator and the multilevel
-    // preconditioner.
-    Multigrid<Vector<double>> mg(
-      mg_matrix, coarse_grid_solver, mg_transfer, mg_smoother, mg_smoother);
-    mg.set_edge_matrices(mg_interface_down, mg_interface_up);
-
-    PreconditionMG<dim, Vector<double>, MGTransferPrebuilt<Vector<double>>>
-      preconditioner(dof_handler, mg, mg_transfer);
-
-    // With all this together, we can finally get about solving the linear
-    // system in the usual way:
-    SolverControl solver_control(1000, 1e-12);
-    SolverCG<>    solver(solver_control);
-
-    solution = 0;
-
-    solver.solve(system_matrix, solution, system_rhs, preconditioner);
-    std::cout << "   Number of CG iterations: " << solver_control.last_step()
-              << "\n"
-              << std::endl;
-    constraints.distribute(solution);
-  }
-
-
-
-  // @sect4{Postprocessing}
-
-  // The following two functions postprocess a solution once it is
-  // computed. In particular, the first one refines the mesh at the beginning
-  // of each cycle while the second one outputs results at the end of each
-  // such cycle. The functions are almost unchanged from those in step-6.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::refine_grid()
-  {
-    Vector<float> estimated_error_per_cell(triangulation.n_active_cells());
-
-    KellyErrorEstimator<dim>::estimate(
-      dof_handler,
-      QGauss<dim - 1>(degree + 2),
-      std::map<types::boundary_id, const Function<dim> *>(),
-      solution,
-      estimated_error_per_cell);
-    GridRefinement::refine_and_coarsen_fixed_number(triangulation,
-                                                    estimated_error_per_cell,
-                                                    0.3,
-                                                    0.03);
-    triangulation.execute_coarsening_and_refinement();
-  }
-
-
-
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::output_results(const unsigned int cycle) const
-  {
-    DataOut<dim> data_out;
-
-    data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
-    data_out.add_data_vector(solution, "solution");
-    data_out.build_patches();
-
-    std::ofstream output("solution-" + std::to_string(cycle) + ".vtk");
-    data_out.write_vtk(output);
-  }
-
-
-  // @sect4{LaplaceProblem::run}
-
-  // Like several of the functions above, this is almost exactly a copy of
-  // the corresponding function in step-6. The only difference is the call to
-  // <code>assemble_multigrid</code> that takes care of forming the matrices
-  // on every level that we need in the multigrid method.
-  template <int dim>
-  void LaplaceProblem<dim>::run()
-  {
-    for (unsigned int cycle = 0; cycle < 8; ++cycle)
-      {
-        std::cout << "Cycle " << cycle << std::endl;
-
-        if (cycle == 0)
-          {
-            GridGenerator::hyper_ball(triangulation);
-            triangulation.refine_global(2);
-          }
-        else
-          refine_grid();
-
-        std::cout << "   Number of active cells:       "
-                  << triangulation.n_active_cells() << std::endl;
-
-        setup_system();
-
-        assemble_system();
-        assemble_multigrid();
-
-        solve();
-        output_results(cycle);
-      }
-  }
-} // namespace Step16
-
-
-// @sect3{The main() function}
-//
-// This is again the same function as in step-6:
 int main()
 {
   try
     {
-      using namespace Step16;
-
-      LaplaceProblem<2> laplace_problem(1);
-      laplace_problem.run();
+      // do nothing.
     }
   catch (std::exception &exc)
     {

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.