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fixing the right-hand-side in the linearization; removeing some backslashes
authorfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 27 Feb 2013 22:50:22 +0000 (22:50 +0000)
committerfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 27 Feb 2013 22:50:22 +0000 (22:50 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28624 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/doc/intro-step-42.tex
deal.II/examples/step-42/doc/intro.dox

index 811781ad02a4312554860fd4419fcf6f2ef01319..0a8e2d649e5141959f95123365c4113dd3821d99 100644 (file)
@@ -182,9 +182,9 @@ To handle the nonlinearity of the constitutive law we use a Newton method and to
 active set method like in step-41. To be more concrete we combine both methods to an inexact semi smooth Newton
 method - inexact since we use an iterative solver for the linearised problems in each Newton step.
 
-\section{Linearisation of the constitutive law for the Newton method}
+\section{Linearization of the constitutive law for the Newton method}
 
-For the Newton method we have to linearise the following semi-linearform
+To apply Newton method we have to linearise the following semi-linearform
 $$a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\varphi)),\varepsilon(\varphi)\right).$$
 Because we have to find the solution $u$ in the convex set $V^+$, we have to
 apply an SQP-method (SQP: sequential quadratic programming). That means we have
@@ -196,8 +196,9 @@ to solve a minimisation problem for a known $u^i$ in every SQP-step of the form
  &\rightarrow& \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+.
 \end{eqnarray*}
 Neglecting the constant terms $ a(u^i;u^i)$ and $ a'(u^i;u^i,u^i)$ we obtain the
-following minimisation problem $$\dfrac{1}{2} a'(u^i;u^{i+1},u^{i+1}) - F(u^i)\rightarrow \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+$$ with
-$$F(\varphi) := \left(a'(\varphi;\varphi,u^{i+1}) -  a(\varphi;u^{i+1}) \right).$$
+following minimisation problem $$\dfrac{1}{2} a'(u^i;u^{i+1},u^{i+1}) -
+F(u^{i+1})\rightarrow \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+$$ with $$F(\varphi) :=
+\left(a'(u^{i};u^{i},\varphi) -  a(u^{i},\varphi) \right).$$
 In the case of our constitutive law the Fr\'echet derivative of the
 semi-linearform $a(.;.)$ at the point $u^i$ is
 
index 4d5be71f761ca7d731fbfa2a5b00346482212338..e90f98636951a171eccdd2afee23324261196560 100644 (file)
@@ -78,7 +78,8 @@ plastic deformations.
 The third equation is called equilibrium condition with a force of volume
 density $f$ which we will neglect in our example.
 The boundary of $\Omega$ separates as follows $\Gamma=\Gamma_D\bigcup\Gamma_C$ and $\Gamma_D\bigcap\Gamma_C=\emptyset$.
-At the boundary $\Gamma_D$ we have zero Dirichlet conditions. $\Gamma_C$ denotes the potential contact boundary.\\
+At the boundary $\Gamma_D$ we have zero Dirichlet conditions. $\Gamma_C$ denotes the potential contact boundary.
+
 The last two lines decribe the so-called Signorini contact conditions. If there is no contact the normal  stress
 @f{gather*} \sigma_n =  \sigma n\cdot n@f}
 is zero with the outward normal $n$. If there is contact ($u_n = g$) the tangential stress $\sigma_t = \sigma\cdot n - \sigma_n n$
@@ -116,7 +117,8 @@ tensor $C=A^{-1}$ we achieve the primal-mixed version of our problem:
 Find a pair $\lbrace\sigma,u\rbrace\in \Pi W\times V^+$ with
 @f{gather*}\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W@f}
 @f{gather*}\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+.@f}
-Therein $\varepsilon$ denotes the linearised deformation tensor with $\varepsilon(u) := \dfrac{1}{2}\left(\nabla u + \nabla u^T\right)$ for small deformations.\\
+Therein $\varepsilon$ denotes the linearised deformation tensor with $\varepsilon(u) := \dfrac{1}{2}\left(\nabla u + \nabla u^T\right)$ for small deformations.
+
 Most materials - especially metals - have the property that they show some hardening effects during the forming process.
 There are different constitutive laws to describe those material behaviors. The
 simplest one is called linear isotropic hardening described by the flow function
@@ -180,7 +182,8 @@ tr(\varepsilon(u))$ the volumetric part of the stress tensor.
 
 In the next step we test in a pointwise sense where the deviator part of the
 stress in a norm is bigger than the yield stress. If there are such points we
-project the deviator stress in those points back to the yield surface. Methods of this kind are called projections algorithm or radial-return-algorithm.\\
+project the deviator stress in those points back to the yield surface. Methods of this kind are called projections algorithm or radial-return-algorithm.
+
 Now we have a primal formulation of our elasto-plastic contact problem which only depends on the displacement $u$.
 It consists of a nonlinear variational inequality and has a unique solution as
 it satisfies the theorem of Lions and Stampaccia. A proof can be found in

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.