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authorWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Tue, 12 Apr 2011 03:55:31 +0000 (03:55 +0000)
committerWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Tue, 12 Apr 2011 03:55:31 +0000 (03:55 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@23577 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-46/doc/intro.dox

index 1518606e4305295f10522604feacd142c43ef773..f29321f0a7796f820d9d0ccc688e1470ba1c24dd 100644 (file)
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 <a name="Intro"></a>
 <h1>Introduction</h1>
 
+This program deals with the problem of coupling different physics in different
+parts of the domain. Specifically, let us consider the following situation:
+
+- In a part $\Omega_f$ of $\Omega$, we have a fluid flowing that satisfies the
+  time independent Stokes equations (in the form that involves the strain
+  tensor): 
+  @f{align*}
+    -2\eta\nabla \cdot \varepsilon(\mathbf v) + \nabla p &= 0,
+          \qquad \qquad && \text{in}\ \Omega_f\\
+    -\nabla \cdot \mathbf v &= 0  && \text{in}\ \Omega_f.
+  @f}
+  Here, $\mathbf v, p$ are the fluid velocity and pressure, respectively.
+  We prescribe the velocity on part of the external boundary,
+  @f{align*}
+    \mathbf v = \mathbf v_0 \qquad\qquad
+     \text{on}\ \Gamma_{f,1} \subset \partial\Omega \cap \partial\Omega_f
+  @f}
+  while we assume free-flow conditions on the remainder of the external
+  boundary,
+  @f{align*}
+    (2\eta \varepsilon(\mathbf v) + p \mathbf 1) \cdot \mathbf n = 0
+     \qquad\qquad
+     \text{on}\ \Gamma_{f,2} = \partial\Omega \cap \partial\Omega_f \backslash
+     \Gamma_{f,1}.
+  @f}
+- The remainder of the domain, $\Omega_s = \Omega \backslash \Omega_f$ is
+  occupied by a solid whose deformation field $\mathbf u$ satisfies the
+  elasticity equation,
+  @f{align*}
+    -\nabla \cdot C \varepsilon(\mathbf u) = 0 \qquad\qquad
+    & \text{in}\ \Omega_s,
+  @f}
+  where $C$ is the rank-4 elasticity tensor (for which we will use a
+  particularly simple form by assuming that the solid is isotropic).
+  It deforms in reaction to the forces exerted by the
+  fluid flowing along the boundary of the solid. We assume this deformation to
+  be so small that it has no feedback effect on the fluid, i.e. the coupling
+  is only in one direction. For simplicity, we will assume that the 
+  solid's external boundary is clamped, i.e.
+  @f{align*}
+    \mathbf u = \mathbf 0 \qquad\qquad
+     \text{on}\ \Gamma_{s,1} = \partial\Omega \cap \partial\Omega_s
+  @f}
+- As a consequence of the small displacement assumption, we will pose the
+  following boundary conditions on the interface between the fluid and solid:
+  first, we have no slip boundary conditions for the fluid,
+  @f{align*}
+    \mathbf v = \mathbf 0 \qquad\qquad
+     \text{on}\ \Gamma_{i} = \partial\Omega_s \cap \partial\Omega_f;
+  @f}
+  secondly, the forces on the solid equal the normal strain from the fluid,
+  @f{align*}
+    (C \varepsilon(\mathbf u)) \mathbf n = 
+    (2 \eta \varepsilon(\mathbf v) + p \mathbf 1) \mathbf n \qquad\qquad
+     \text{on}\ \Gamma_{i} = \partial\Omega_s \cap \partial\Omega_f.
+  @f}
+
+
+This sort of coupling is of course possible by simply having two Triangulation
+and two DoFHandler objects, one each for each of the two subdomains. On the
+other hand, deal.II is much simpler to use if there is a single DoFHandler
+object that knows about the discretization of the entire problem.
+
+This program is about how this can be achieved. Note that the goal is not to
+present a particularly useful physical model (a realistic fluid-structure
+interaction model would have to take into account the finite deformation of
+the solid and the effect this has on the fluid): this is, after all, just a
+tutorial program intended to demonstrate techniques, not to solve actual
+problems. Furthermore, we will make the assumption that the interface between
+the subdomains is aligned with cell faces.
+  
+
+<h3>The general idea</h3>
+
+The fundamental idea to implement these sort of problems in deal.II goes as
+follows: in the problem formulation, the velocity and pressure variables
+$\mathbf v, p$ only live in the fluid subdomain $\Omega_f$. But let's assume
+that we extend them by zero to the entire domain $\Omega$ (in the general case
+this means that they will be discontinuous along $\Gamma_i$). So what is the
+appropriate function space for these variables? We know that on $\Omega_f$ we
+should require $\mathbf v \in H^1(\Omega_f)^d, p \in L_2(\Omega_f)$, so for
+the extensions $\tilde{\mathbf v}, \tilde p$ to the whole domain the following
+appears a useful set of function spaces:
+@f{align*}
+  \tilde {\mathbf v} &\in V
+   = \{\tilde {\mathbf v}|_{\Omega_f} \in H^1(\Omega_f)^d, \quad
+       \tilde {\mathbf v}|_{\Omega_s} = 0 \}
+  \\
+  \tilde p &\in P
+  = \{\tilde p|_{\Omega_f} \in L_2(\Omega_f), \quad
+       \tilde p|_{\Omega_s} = 0 \}.
+@f}
+Note that this is indeed a linear function space with obvious norm. Since no
+confusion is possible in practice, we will henceforth omit the tilde again to
+denote the extension of a function to the whole domain and simply refer by
+$\mathbf v, p$ to both the original and the extended function.

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.