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fixing space and set definitions in the saddle point formulation
authorfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 27 Feb 2013 23:14:56 +0000 (23:14 +0000)
committerfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 27 Feb 2013 23:14:56 +0000 (23:14 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28625 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/doc/intro-step-42.tex
deal.II/examples/step-42/doc/intro.dox

index 0a8e2d649e5141959f95123365c4113dd3821d99..17767acd1481940685c4af44c9f5213b9dc47076 100644 (file)
@@ -185,9 +185,9 @@ method - inexact since we use an iterative solver for the linearised problems in
 \section{Linearization of the constitutive law for the Newton method}
 
 To apply Newton method we have to linearise the following semi-linearform
-$$a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\varphi)),\varepsilon(\varphi)\right).$$
-Because we have to find the solution $u$ in the convex set $V^+$, we have to
-apply an SQP-method (SQP: sequential quadratic programming). That means we have
+$$a(\psi;\varphi) :=
+\left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\psi)),\varepsilon(\varphi)\right).$$ Because we have
+to find the solution $u$ in the convex set $V^+$, we have to apply an SQP-method (SQP: sequential quadratic programming). That means we have
 to solve a minimisation problem for a known $u^i$ in every SQP-step of the form
 \begin{eqnarray*}
  & & a(u^{i};u^{i+1} - u^i) + \dfrac{1}{2}a'(u^i;u^{i+1} - u^i,u^{i+1} - u^i)\\
@@ -229,14 +229,14 @@ Just as in step-41 we compose a saddle point problem out of the minimisation
 problem. Again we do so to gain a formulation that allows us to solve a linear
 system of equations finally.\\
 We introduce a Lagrange multiplier $\lambda$ and the convex cone $K\subset W'$,
-$W'$ dual space of the trace space $W$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$,
-$$K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
-\forall v\in W, v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}$$
+$W'$ dual space of the trace space $W:=\left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C)
+\right]^{\textrm{dim}$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$, $$K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
+\forall v\in H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C), v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}$$
 of Lagrange multipliers, where $\langle\cdot,\cdot\rangle$
 denotes the duality pairing, i.e. a boundary integral, between $W'$ and $W$.
 Intuitively, $K$ is the cone of all "non-positive functions", except that $ K\subset
-\left( \left[ H_0^{\frac{1}{2}} \right]^{\textrm{dim}} \right)' $ and so contains other
-objects besides regular functions as well. This yields:\\
+\left( \left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C) \right]^{\textrm{dim}} \right)' $ and
+so contains other objects besides regular functions as well. This yields:\\
 
 \noindent
 \textit{Find $u\in V$ and $\lambda\in K$ such that}
index e90f98636951a171eccdd2afee23324261196560..f33e5b31fd9f7035227e85d6dd13aa9b594df648 100644 (file)
@@ -198,7 +198,7 @@ method - inexact since we use an iterative solver for the linearised problems in
 <h3>Linearisation of the constitutive law for the Newton method</h3>
 
 For the Newton method we have to linearise the following semi-linearform
-@f{gather*}a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\varphi)),\varepsilon(\varphi)\right).@f}
+@f{gather*}a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\psi)),\varepsilon(\varphi)\right).@f}
 Because we have to find the solution $u$ in the convex set $V^+$, we have to
 apply an SQP-method (SQP: sequential quadratic programming). That means we have
 to solve a minimisation problem for a known $u^i$ in every SQP-step of the form
@@ -244,13 +244,14 @@ problem. Again we do so to gain a formulation that allows us to solve a linear
 system of equations finally.
 
 We introduce a Lagrange multiplier $\lambda$ and the convex cone $K\subset W'$,
-$W'$ dual space of the trace space $W$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$,
+$W'$ dual space of the trace space $W:=\left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C)
+\right]^{\textrm{dim}$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$,
 @f{gather*}K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
-\forall v\in W, v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}@f}
+\forall v\in H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C), v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}@f}
 of Lagrange multipliers, where $\langle\cdot,\cdot\rangle$
 denotes the duality pairing, i.e. a boundary integral, between $W'$ and $W$.
 Intuitively, $K$ is the cone of all "non-positive functions", except that $ K\subset
-\left( \left[ H_0^{\frac{1}{2}} \right]^{\textrm{dim}} \right)' $ and so contains other
+\left( \left[ H_0^{\frac{1}{2}}(\Gamma_C) \right]^{\textrm{dim}} \right)' $ and so contains other
 objects besides regular functions as well. This yields:
 
 Find $u\in V$ and $\lambda\in K$ such that

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.