]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
commit again because of an wrong revert
authorfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 21 Feb 2013 16:32:58 +0000 (16:32 +0000)
committerfrohne <frohne@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 21 Feb 2013 16:32:58 +0000 (16:32 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28512 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/Makefile
deal.II/examples/step-42/doc/intro-step-42.tex

index 1c6563053eb9c49a3793488981af4448c6b48de9..4a005b2d7f2605ebbaf647a94672cb134dee69e0 100644 (file)
@@ -14,7 +14,7 @@ target = step-42
 # run-time checking of parameters and internal states is performed, so
 # you should set this value to `on' while you develop your program,
 # and to `off' when running production computations.
-debug-mode = off
+debug-mode = on
 
 
 # As third field, we need to give the path to the top-level deal.II
index 980227e73e7c903243ac48b61dacf75f509da681..b92a1d6b6199d40636ec40526cc9f59fd4bcda2f 100644 (file)
@@ -80,7 +80,8 @@ $$ \sigma_n =  \sigma n\cdot n$$
 is zero with the outward normal $n$. If there is contact ($u_n = g$) the tangential stress $\sigma_t = \sigma\cdot n - \sigma_n n$
 vanishes, because we consider a frictionless situation and the normal stress is
 negative. The gap $g$ comes with the start configuration of the obstacle and the
-deformable body.
+deformable body. We refer that you have to ensure that the obstacle does not hit
+the boundary of $\Gamma_C$ 
 
 \section{Derivation of the variational inequality}
 
@@ -115,14 +116,14 @@ Therein $\varepsilon$ denotes the linearised deformation tensor with $\varepsilo
 Most materials - especially metals - have the property that they show some hardening effects during the forming process.
 There are different constitutive laws to describe those material behaviors. The
 simplest one is called linear isotropic hardening described by the flow function
-$\mathcal{F}(\tau,\eta) = \vert\tau^D\vert - (\sigma_0 + \gamma\eta)$ where
+$\mathcal{F}(\tau,\eta) = \vert\tau^D\vert - (\sigma_0 + \gamma^{\text{iso}}\eta)$ where
 $\eta$ is the norm of the plastic strain $\eta = \vert \varepsilon -
 A\sigma\vert$.
 It can be considered by establishing an additional term in our primal-mixed formulation:\\
 Find a pair $\lbrace(\sigma,\xi),u\rbrace\in \Pi (W\times L^2(\Omega,\mathbb{R}))\times V^+$ with
-$$\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))$$
+$$\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma^{\text{iso}}\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))$$
 $$\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,$$
-with the hardening parameter $\gamma > 0$.\\
+with the hardening parameter $\gamma^{\text{iso}} > 0$.\\
 Now we want to derive a primal problem which only depends on the displacement $u$. For that purpose we
 set $\eta = \xi$ and eliminate the stress $\sigma$ by applying the projection
 theorem (see Grossmann, Roos: Numerical Treatment of Partial Differential
@@ -135,21 +136,34 @@ Find the displacement $u\in V^+$ with
 $$\left(P_{\Pi}(C\varepsilon(u)),\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,$$
 with the projection:
 $$P_{\Pi}(\tau):=\begin{cases}
-                       \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0 +  \gamma\xi,\\
-                       \hat\alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0 +  \gamma\xi,
+                       \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0 +  \gamma^{\text{iso}}\xi,\\
+                       \hat\alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0 +  \gamma^{\text{iso}}\xi,
                        \end{cases}$$
 with the radius
-$$\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma\xi .$$
+$$\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma^{\text{iso}}\xi .$$
 With the relation $\xi = \vert\varepsilon(u) - A\sigma\vert$ it is possible to eliminate $\xi$ inside the projection $P_{\Pi}$:\\
 $$P_{\Pi}(\tau):=\begin{cases}
                        \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0,\\
                        \alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0,
                        \end{cases}$$
-$$\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma}{2\mu+\gamma}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,$$
+$$\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma^{\text{iso}}}{2\mu+\gamma^{\text{iso}}}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,$$
 with a further material parameter $\mu>0$ called shear modulus. We refer that
 this only possible for isotropic plasticity.\\
-So what we do is to calculate the stresses by using Hooke's law for linear elastic,  isotropic materials
-$$\sigma = C \varepsilon(u) = 2\mu \varepsilon^D(u) + \kappa tr(\varepsilon(u))I = \left[2\mu\left(\mathbb{I} -\dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I\right]\varepsilon(u)$$
+To make things a bit easier from now on we denote
+$$\gamma := \dfrac{\gamma^{\text{iso}}}{2\mu +
+\gamma^{\text{iso}}}\in[0,1)\text{ with }\gamma^{\text{iso}}\in[0,\infty),$$
+$$\beta :=\dfrac{\sigma_0}{\vert\tau^D\vert}.$$ If $\gamma^{\text{iso}}$ tends to zero $\gamma$ tends also to zero. And if $\gamma^{\text{iso}}$ tends to
+infinity $\gamma$ tends to one. This allows us to reformulate our problem as
+follows $$P_{\Pi}(\tau):=\begin{cases}
+                        \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0,\\
+                        \gamma\tau^D + (1-\gamma)\beta\tau^D
+                        + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert >
+                        \sigma_0, \end{cases}.$$
+For further details see Suttmeier: On Plasticity with Hardening:
+An Adaptive Finite Element Discretisation, International Mathematical Forum, 5,
+2010, no. 52, 2591-2601.\\
+So what we do is to calculate the stresses
+by using Hooke's law for linear elastic,  isotropic materials $$\sigma = C \varepsilon(u) = 2\mu \varepsilon^D(u) + \kappa tr(\varepsilon(u))I = \left[2\mu\left(\mathbb{I} -\dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I\right]\varepsilon(u)$$
 with the material parameter $\kappa>0$ (bulk modulus). The variables $I$ and
 $\mathbb{I}$ denote the identity tensors of second and forth order. In that
 notation $2\mu \varepsilon^D(u)$ is the deviatoric part and $\kappa
@@ -188,15 +202,19 @@ semi-linearform $a(.;.)$ at the point $u^i$ is
 $$a'(u^i;\psi,\varphi) =
 (I(x)\varepsilon(\psi),\varepsilon(\varphi)),\quad x\in\Omega,$$ $$
 I(x) := \begin{cases}
-2\mu\left(\mathbb{I}  - \dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I, &
+C_{\mu} + C_{\kappa}, &
 \quad \vert \tau^D \vert \leq \sigma_0\\
-\dfrac{\alpha}{\vert\tau^D\vert}2\mu\left(\mathbb{I}  - \dfrac{1}{3} I\otimes I 
-- \dfrac{\tau^D\otimes\tau^D}{\vert\tau^D\vert}\right) + \kappa I\otimes I,
-&\quad \vert \tau^D \vert > \sigma_0
+\gamma C_{\mu} + (1-\gamma)\beta\left(C_{\mu} -
+2\mu\dfrac{\tau^D\otimes\tau^D}{\vert\tau^D\vert^2}\right) + C_{\kappa}, &\quad
+\vert \tau^D \vert > \sigma_0
 \end{cases}
 $$
 with
-$$\tau^D :=  C\varepsilon^D(u^i).$$
+$$C_{\mu} := 2\mu\left(\mathbb{I}  - \dfrac{1}{3} I\otimes
+I\right)\quad\text{(shear part of the stress strain tensor)},$$
+$$C_{\kappa} := \kappa I\otimes I\quad\text{(bulk part of the stress strain
+tensor)},$$
+$$\tau^D := C\varepsilon^D(u^i).$$
 Remark that $a(.;.)$ is not differentiable in the common sense but it is
 slantly differentiable like the function for the contact problem and again we refer to
 Hintermueller, Ito, Kunisch: The primal-dual active set strategy as a semismooth newton method, SIAM J. OPTIM., 2003, Vol. 13, No. 3, pp. 865-888.

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.