]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii.git/commitdiff
typos fixed
authorManaswinee Bezbaruah <bezba004@tamu.edu>
Tue, 29 Mar 2022 15:47:27 +0000 (10:47 -0500)
committerMatthias Maier <tamiko@43-1.org>
Thu, 26 May 2022 05:16:02 +0000 (00:16 -0500)
examples/step-81/doc/intro.dox
examples/step-81/doc/results.dox
examples/step-81/step-81.cc

index 74e996aa93c14b2069a4a43f0ad00b1f3e6d17c7..762507a4bef41419944d637c3c8f5d71f90f7020 100644 (file)
@@ -161,7 +161,7 @@ denote the vacuum dielectric permittivity and magnetic permeability, respectivel
 <li>$\mathbf{E}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{J}_a$, $\mathbf{M}_a$ are all rescaled by
 typical electric current strength $J_0$, i.e., the strength of the
 prescribed dipole source at location $a$ in the $e_i$ direction in Cartesian
-coordinates.
+coordinates (here, $\delta$ is the Dirac delta operator).
 @f[
 \mathbf{J}_a = J_0 e_i\delta(x-a)
 @f]
@@ -234,8 +234,8 @@ in $\Omega\backslash\Sigma$.
 \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla\times\mathbf{E})\cdot (\nabla\times\bar{\varphi})\;\text{d}x
 - \int_\Omega \varepsilon_r\mathbf{E} \cdot \bar{\varphi}\;\text{d}x
 - \int_\Sigma [\nu \times (\mu_r^{-1}\nabla\times\mathbf{E} +
-\mu^{-1}\mathbf{M}_a)]_{\Sigma}\cdot \bar{\varphi}_T\;\text{d}o_x
-- \int_{\partial\Omega} (\nu \times (\mu_r^{-1}\nabla\times\mathbf{E} +
+\mu^{-1}\mathbf{M}_a)]_{\Sigma}\cdot \bar{\varphi}_T\;\text{d}o_x\\
+\qquad - \int_{\partial\Omega} (\nu \times (\mu_r^{-1}\nabla\times\mathbf{E} +
 \mu^{-1}\mathbf{M}_a)) \cdot \bar{\varphi}_T\;\text{d}o_x =
 i\int_\Omega \mathbf{J}_a \cdot \bar{\varphi}\;\text{d}x
 - \int_\Omega \mu_r^{-1}\mathbf{M}_a \cdot (\nabla \times \bar{\varphi})\;\text{d}x.
@@ -244,15 +244,15 @@ i\int_\Omega \mathbf{J}_a \cdot \bar{\varphi}\;\text{d}x
 We use the subscript $T$ to denote the tangential part of the given vector
 and $[\cdot]_{\Sigma}$ to denote a jump over $\Sigma$, i.e.,
 @f[
-  F_T = (\nu\times F)\times\nu
+  \mathbf{F}_T = (\mathbf{\nu}\times \mathbf{F})\times\mathbf{\nu}
   \text{ and }
-  [F]_{\Sigma}(x) = \lim\limits_{s\searrow 0}(F(x+s\nu)-F(x-s\nu))
+  [\mathbf{F}]_{\Sigma}(\mathbf{x}) = \lim\limits_{s\searrow 0}(\mathbf{F}(\mathbf{x}+s\mathbf{\nu})-\mathbf{F}(\mathbf{x}-s\mathbf{\nu}))
 @f]
-for $x\in \Sigma$.
+for $\mathbf{x}\in \Sigma$.
 
 For the computational domain $\Omega$, we introduce the absorbing boundary condition
 at $\partial\Omega$, which is obtained by using a first-order approximation of
-the Silver-Müller radiation condition, truncated at $\partial\Omega$.
+the Silver-Müller radiation condition, truncated at $\partial\Omega$ @cite Monk2003.
 @f[
 \nu\times\mathbf{H}+\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon_r}\mathbf{E}=0\qquad x\in\partial\Omega
 @f]
@@ -272,8 +272,8 @@ Combining, our weak form is as follows:
 @f[
 \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla\times\mathbf{E})\cdot (\nabla\times\bar{\varphi})\;\text{d}x
 - \int_\Omega \varepsilon_r\mathbf{E} \cdot \bar{\varphi}\;\text{d}x
-- i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}\mathbf{E}_T) \cdot \bar{\varphi}_T\;\text{d}o_x
-- i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}\mathbf{E}_T) \cdot
+- i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}\mathbf{E}_T) \cdot \bar{\varphi}_T\;\text{d}o_x\\
+\qquad - i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}\mathbf{E}_T) \cdot
 (\nabla\times\bar{\varphi}_T)\;\text{d}o_x.=
 i\int_\Omega \mathbf{J}_a \cdot \bar{\varphi}\;\text{d}x
 - \int_\Omega \mu_r^{-1}\mathbf{M}_a \cdot (\nabla \times \bar{\varphi})\;\text{d}x.
@@ -346,21 +346,18 @@ is described at length below, and avoid the explicit use of the last condition.
 
 The variational form is discretized on a non-uniform quadrilateral mesh with
 higher-order, curl-conforming Nédélec elements implemented by the FE_NedelecSZ
-class. This way the interface with a weak discontinuity can be aligned with or
-away from the mesh and the convergence rate is high. Specifically, we use
-second-order Nédélec elements, which under our conditions will have a
-convergence rate $\mathcal{O}(\#\text{dofs})$.
+class. This way the interface with a weak discontinuity is optimal, and we get optimal convergence rates.
 
 Consider the finite element subspace $X_h(\Omega) \subset X(\Omega)$. Define
 the matrices
 @f[
-A_{ij} = \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla \times \varphi_i) \cdot
-          (\nabla\times\bar{\varphi}_j)\;\text{d}x
-          - \int_\Omega \varepsilon_r\varphi_i \cdot \bar{\varphi}_j\;\text{d}x
-          - i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}\varphi_{i_T}) \cdot
-          \bar{\varphi}_{j_T}\;\text{d}o_x
-          - i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}\varphi_{i_T}
-          \cdot (\nabla\times \bar{\varphi}_{j_T})\;\text{d}o_x,
+A_{ij} = \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla \times \varphi_j) \cdot
+          (\nabla\times\bar{\varphi}_i)\;\text{d}x
+          - \int_\Omega \varepsilon_r\varphi_j \cdot \bar{\varphi}_i\;\text{d}x
+          - i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}\varphi_{j_T}) \cdot
+          \bar{\varphi}_{i_T}\;\text{d}o_x
+          - i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}\varphi_{j_T})
+          \cdot (\nabla\times \bar{\varphi}_{i_T})\;\text{d}o_x,
 @f]
 @f[
 F_i = i\int_\Omega \mathbf{J}_a \cdot \bar{\varphi_i}\;\text{d}x
@@ -372,7 +369,7 @@ Then under the assumption of a sufficiently refined initial mesh
 the discretized variational problem is:
 
 @f[
-  \text{Find a unique } \varphi_j \in X_h(\Omega) \text{ such that, for all } \varphi_i \in X_h(\Omega),
+  \text{Find a unique } \varphi_i \in X_h(\Omega) \text{ such that, for all } \varphi_j \in X_h(\Omega),
 @f]
 @f[
 A_{ij} = F_i
@@ -398,9 +395,11 @@ be a function of the radial distance $\rho$ from the origin $e_r$. The normal fi
 $\nu$ of $\Sigma$ is orthogonal to the radial direction $e_r$, which makes
 $\mathbf{J}_a \equiv 0$ and $\mathbf{M}_a \equiv 0$ within the PML.
 
+@htmlonly
 <p align="center">
   <img src = "https://www.dealii.org/images/steps/developer/step-81-PML.png">
 </p>
+@endhtmlonly
 
 Introduce a change of coordinates
 @f[
@@ -442,7 +441,7 @@ Thus, after applying the rescaling, we get the following modified parameters
   \bar{\sigma}^{\Sigma}_r &= C^{-1} \sigma^{\Sigma}_r B^{-1}.
 @f}
 
-These PML transformations are implemented in our <tt>PerfectlyPatchedLayer</tt>
+These PML transformations are implemented in our <tt>PerfectlyMatchedLayer</tt>
 class. After the PML
 is implemented, the electromagnetic wave essentially decays exponentially within
 the PML region near the boundary, therefore reducing reflection from the boundary
index ab14f3f31d3c702a3ed6c0159e6d795e1006bf03..0e7330d4ddf882adc347baaed580bd24739e3c30 100644 (file)
@@ -216,9 +216,6 @@ for(int t = 0; t<=100; t++){
 
 This would generate 100 solution .vtk files, which can be opened in a group on Paraview and then can be saved as an animation. We used FFMPEG to generate gifs.
 
-<h4> Resulting videos </h4>
-Following are the resulting videos of our experiments. As we see, TODO
-
 <h3> Possibilities for Extension </h3>
 The current program doesn't allow for iterative solvers as the solutions will not converge with an iterative solver. One possible direction for future work is to implement an iterative solver and involve more preconditioners. An advantage of iterative solvers is the more efficient memory usage, and our current memory usage does not allow for a large number of DOFs.
-Another possible direction would be to perform Local Mesh Refinement (instead of Global Mesh Refinement). This will also help us visualize more DOFs in a more memory and time efficient way.
+Another possible direction would be to perform Local Mesh Refinement (instead of Global Mesh Refinement). This will also help us visualize more DOFs in a more memory and time efficient way. TODO
index 5d4c4932f19a221a099b496cfa39d64bd97b31e0..a74f7534b2a341544c1d1ce22b0a913fd92dadfb 100644 (file)
@@ -97,7 +97,11 @@ namespace Step81
   // the interface between two materials. If we are at an interface, we assign
   // the i^th diagonal element of the tensor to the private sigma_ value.
 
-  // J_a is the strength and orientation of the dipole. It is a rank 1 tensor
+  // J_a is the strength and orientation of the dipole. As mentioned in the rescaling,
+  // @f[
+  // \mathbf{J}_a = J_0 e_i\delta(x-a)
+  // @f]
+  // It is a rank 1 tensor
   // that depends on the private dipole_position_, dipole_radius_,
   // dipole_strength_, dipole_orientation_ variables.
 
@@ -547,13 +551,13 @@ namespace Step81
 
   // Assemble the stiffness matrix and the right-hand side:
   //\f{align*}{
-  // A_{ij} = \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla \times \varphi_i) \cdot
-  // (\nabla\times\bar{\varphi}_j)\text{d}x
-  // - \int_\Omega \varepsilon_r\varphi_i \cdot \bar{\varphi}_j\text{d}x
-  // - i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}(\varphi_i)_T) \cdot
-  // (\bar{\varphi}_j)_T\text{do}x
-  // - i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}(\varphi_i)_T) \cdot
-  // (\nabla\times(\bar{\varphi}_j)_T)\text{d}x, \f} \f{align}{
+  // A_{ij} = \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla \times \varphi_j) \cdot
+  // (\nabla\times\bar{\varphi}_i)\text{d}x
+  // - \int_\Omega \varepsilon_r\varphi_j \cdot \bar{\varphi}_i\text{d}x
+  // - i\int_\Sigma (\sigma_r^{\Sigma}(\varphi_j)_T) \cdot
+  // (\bar{\varphi}_i)_T\text{do}x
+  // - i\int_{\partial\Omega} (\sqrt{\mu_r^{-1}\varepsilon}(\varphi_j)_T) \cdot
+  // (\nabla\times(\bar{\varphi}_i)_T)\text{d}x, \f} \f{align}{
   //  F_i = i\int_\Omega J_a \cdot \bar{\varphi_i}\text{d}x - \int_\Omega
   //  \mu_r^{-1} \cdot (\nabla \times \bar{\varphi_i}) \text{d}x.
   // \f}
@@ -589,7 +593,7 @@ namespace Step81
 
     // This is assembling the interior of the domain on the left hand side.
     // So we are assembling
-    // //\f{align*}{
+    // \f{align*}{
     // \int_\Omega (\mu_r^{-1}\nabla \times \varphi_i) \cdot
     // (\nabla\times\bar{\varphi}_j)\text{d}x
     // - \int_\Omega \varepsilon_r\varphi_i \cdot \bar{\varphi}_j\text{d}x
@@ -599,7 +603,7 @@ namespace Step81
     // i\int_\Omega J_a \cdot \bar{\varphi_i}\text{d}x
     // - \int_\Omega \mu_r^{-1} \cdot (\nabla \times \bar{\varphi_i}) \text{d}x.
     // \f}
-    // In doing so, we need test functions $\phi_i$ and $\phi_j$, and the curl
+    // In doing so, we need test functions $\varphi_i$ and $\varphi_j$, and the curl
     // of these test variables. We must be careful with the signs of the
     // imaginary parts of these complex test variables. Moreover, we have a
     // conditional that changes the parameters if the cell is in the PML region.

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.