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Better document step-22 solvers. 11340/head
authorWolfgang Bangerth <bangerth@colostate.edu>
Tue, 8 Dec 2020 21:32:54 +0000 (14:32 -0700)
committerWolfgang Bangerth <bangerth@colostate.edu>
Tue, 8 Dec 2020 22:19:06 +0000 (15:19 -0700)
doc/doxygen/references.bib
examples/step-22/doc/intro.dox
examples/step-22/doc/results.dox

index 5ed6044eb3b9d8b92bb27bbccb6b04b47d2ad51b..aad5f5dc3d651b4bf3a61fd64833d88f208cdb8a 100644 (file)
 }
 
 
+% ------------------------------------
+% Step 22
+% ------------------------------------
+
+@Article{SW94,
+  author =      {D. Silvester and A. Wathen},
+  title =       {Fast iterative solution of stabilised {S}tokes systems. {P}art
+                  {II}: {U}sing general block preconditioners},
+  journal =     {SIAM J. Numer. Anal.},
+  year =        1994,
+  volume =      31,
+  pages =       {1352--1367}}
+
+
 % ------------------------------------
 % Step 47
 % ------------------------------------
index 32da0ccba41e230198b9a3bcdb27c5ce3b4666b5..002bc0dd5cd96d25531de5b1f8dea21fdbbb81ae 100644 (file)
@@ -588,6 +588,25 @@ classes, we will be able to use them interchangeably using the same syntax in
 all places.
 
 
+<h4> Is this how one should solve the Stokes equations? </h4>
+
+The discussions above showed *one* way in which the linear system that
+results from the Stokes equations can be solved, and because the
+tutorial programs are teaching tools that makes sense. But is this the
+way this system of equations *should* be solved?
+
+The answer to this is no. The primary bottleneck with the approach,
+already identified above, is that we have to repeatedly solve linear
+systems with $A$ inside the Schur complement, and because we don't
+have a good preconditioner for the Schur complement, these solves just
+have to happen too often. A better approach is to use a block
+decomposition, which is based on an observation of Silvester and
+Wathen @cite SW94 and explained in much greater detail in
+@cite elman2005 . An implementation of this alternative approach is
+discussed below, in the section on a <a href="#block-schur">block Schur
+complementation preconditioner</a> in the results section of this program.
+
+
 <h4> A note on the structure of the linear system </h4>
 
 Above, we have claimed that the linear system has the form
index 7c3a6c75120d4d3a628c7b1dc272dab907db6861..c9fc2037b0797cb27b1355e302d34fcac8fdb3d3 100644 (file)
@@ -346,6 +346,7 @@ mesh-independent number of iterations, say 10 to 30. We have seen such a
 candidate in step-16: multigrid.
 
 <h5>Block Schur complement preconditioner</h5>
+<a name="block-schur"></a>
 Even with a good preconditioner for $A$, we still
 need to solve of the same linear system repeatedly (with different
 right hand sides, though) in order to make the Schur complement solve

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.