]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
some more small changes and references
authormcbride <mcbride@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 16 Feb 2012 05:37:31 +0000 (05:37 +0000)
committermcbride <mcbride@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Thu, 16 Feb 2012 05:37:31 +0000 (05:37 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@25094 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-44/doc/intro.dox
deal.II/examples/step-44/step-44.cc

index 53b1c43cac27de4698beb550d611df8ace77be32..4a6c347b0a6dbffd50589ee05fb2a4f9d299248c 100644 (file)
@@ -537,36 +537,42 @@ where
                \overline{\overline{\mathbf{\mathsf{K}}}} :=
                        \mathbf{\mathsf{K}}_{u\widetilde{p}} \overline{\mathbf{\mathsf{K}}} \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{p}u} \, .
 @f]
-
 Note that due to the choice of $\widetilde{p}$ and $\widetilde{J}$ as discontinuous at the element level, all matrices that need to be inverted are defined at the element level.
 
-
-NEED TO DISCUSS THE STORAGE
-@f[
-\underbrace{\begin{bmatrix}
-                       \mathbf{\mathsf{K}}_{\textrm{con}}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{up}        & \mathbf{0}
+The procedure to construct the various contributions is as follows:
+- Construct $\mathbf{\mathsf{K}}$. 
+- Form $\mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{p}\widetilde{J}}^{-1}$ for element and store where $\mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{p}\widetilde{J}}$ was stored in $\mathbf{\mathsf{K}}$.
+- Form $\overline{\overline{\mathbf{\mathsf{K}}}}$ and add to $\mathbf{\mathsf{K}}_{uu}$ to get $\mathbf{\mathsf{K}}_{\textrm{con}}$
+- The modified system matrix is called ${\mathbf{\mathsf{K}}}_{\textrm{store}}$. 
+  That is
+  @f[
+  \underbrace{\begin{bmatrix}
+                       \mathbf{\mathsf{K}}_{\textrm{con}}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{u\widetilde{p}}    & \mathbf{0}
                        \\
-                       \mathbf{\mathsf{K}}_{pu}        &       \mathbf{0}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{p\widetilde{J}}^{-1}
+                       \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{p}u}    &       \mathbf{0}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{p}\widetilde{J}}^{-1}
                        \\
-                       \mathbf{0}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{J}p}            & \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{J}\widetilde{J}}
+                       \mathbf{0}      &       \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{J}\widetilde{p}}                & \mathbf{\mathsf{K}}_{\widetilde{J}\widetilde{J}}
                \end{bmatrix}}_{ {\mathbf{\mathsf{K}}}_{\textrm{store}}}
-@f]
+  @f]
 
 
 <h3> Numerical example </h3>
 
 The numerical example considered here is a nearly-incompressible block under compression.
 This benchmark problem is taken from
-<ol>
-       <li>
-               S. Reese, P. Wriggers, B.D. Reddy (2000),
-               A new locking-free brick element technique for large deformation problems in elasticity,
-               <em> Computers and Structures </em>,
-               <strong> 75 </strong>,
-               291-304.
-</ol>
+- S. Reese, P. Wriggers, B.D. Reddy (2000),
+  A new locking-free brick element technique for large deformation problems in elasticity,
+  <em> Computers and Structures </em>,
+  <strong> 75 </strong>,
+  291-304.
 
  @image html "step-44.setup.png"
 
-Using symmetry, we solve for only one quarter of the geometry, as shown in
-highlights in the figure above.
+The material is quasi-incompressible neo-Hookean with <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Shear_modulus">shear modulus</a> $\mu = 80.194e6$ and $\nu = 0.4999$.
+For such a choice of material properties a conventional $Q_1$ approach would lock.
+That is, the response would be overly stiff.
+The initial and final configurations are shown in the image above.
+Using symmetry, we solve for only one quarter of the geometry (i.e. a cube with dimension $0.001$).
+The inner-quarter of the upper surface of the domain is subject to a load of $p_0$. 
index d49ffc99edf28716ff744fc4d77fcab4cad9b335..277e32c4f63a7dc8dc94dc3bd2bbf6821e52c7b1 100644 (file)
@@ -67,12 +67,12 @@ namespace Parameters {
 // @sect4{Finite Element system}
 // As mentioned in the introduction, a different order
 // interpolation should be used for the displacement
-// $\mathbf{u}$ than for the pressure $p$ and
+// $\mathbf{u}$ than for the pressure $\widetilde{p}$ and
 // the dilatation $\widetilde{J}$.
-// Choosing $p$ and $\widetilde{J}$ as discontinuous (constant)
+// Choosing $\widetilde{p}$ and $\widetilde{J}$ as discontinuous (constant)
 // functions at the element level leads to the
 // mean-dilatation method. The discontinuous approximation
-// allows $p$ and $\widetilde{J}$ to be condensed out
+// allows $\widetilde{p}$ and $\widetilde{J}$ to be condensed out
 // and a classical displacement based method is recovered.
 // Here we specify the polynomial order used to
 // approximate the solution.
@@ -164,11 +164,10 @@ struct Materials {
        parse_parameters(ParameterHandler &prm);
 };
 
-// ToDo: add a range check
 void Materials::declare_parameters(ParameterHandler &prm) {
        prm.enter_subsection("Material properties");
        {
-               prm.declare_entry("Poisson's ratio", "0.4999", Patterns::Double(),
+               prm.declare_entry("Poisson's ratio", "0.4999", Patterns::Double(-1.0,0.5),
                                "Poisson's ratio");
 
                prm.declare_entry("Shear modulus", "80.194e6", Patterns::Double(),
@@ -563,21 +562,21 @@ private:
 // The entire domain is assumed 
 // to be composed of a compressible neo-Hookean material. 
 // This class defines
-// the behaviour of this material
+// the behaviour of this material within a three-field formulation.
 // Compressible neo-Hookean materials
 // can be described by a strain-energy function (SEF)
-// $ \Psi = \Psi_{\text{iso}}(\overline{\mathbf{b}}) + \Psi_{\text{vol}}(J) $.
+// $ \Psi = \Psi_{\text{iso}}(\overline{\mathbf{b}}) + \Psi_{\text{vol}}(\widetilde{J}) $.
 //
 // The isochoric response is given by
-// $ \Psi_{\text{iso}}(\mathbf{b}) = c_{1} [\overline{I}_{1} - 3]  $
+// $ \Psi_{\text{iso}}(\overline{\mathbf{b}}) = c_{1} [\overline{I}_{1} - 3]  $
 // where $ c_{1} = \frac{\mu}{2} $ and $\overline{I}_{1}$ is the first
 // invariant of the left- or right- isochoric Cauchy-Green deformation tensors.
 // That is $\overline{I}_1 :=\textrm{tr}(\overline{\mathbf{b}})$.
 // In this example the SEF that governs the volumetric
 // response is defined as
 // $ \Psi_{\text{vol}}(\widetilde{J})  = \kappa \bigl[ \frac{1}{2} [ \widetilde{J}^{2} - 1 ] - \textrm{ln}( \widetilde{J}) ] \bigr]  $
-// where $\kappa:= \lambda + 2/3 \mu$ is the bulk modulus and
-// $\lambda$ is a Lame moduli.
+// where $\kappa:= \lambda + 2/3 \mu$ is the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bulk_modulus">bulk modulus</a> and
+// $\lambda$ is <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters">Lame's first parameter</a>.
 template<int dim>
 class Material_Compressible_Neo_Hook_Three_Field {
 public:
@@ -1795,7 +1794,6 @@ void Solid<dim>::print_conv_footer(void) {
 // which is then normalised by the current volume
 // $\int_{\Omega_0}  J ~\textrm{d}V = \int_\Omega  ~\textrm{d}v$.
 template<int dim>
-// ToDO: return the ratio of the reference and current volumes
 double Solid<dim>::get_error_dil(void) {
 
        double dil_L2_error = 0.0;

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.