]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
Improve file markup and formulas.
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Fri, 15 Feb 2013 17:17:05 +0000 (17:17 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Fri, 15 Feb 2013 17:17:05 +0000 (17:17 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28407 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-42/doc/intro.dox

index 8add995629aca58a112d446f628c151ec9442418..a02ffc0a2ddc3503f1982c4a616d5bcf9f893f90 100644 (file)
@@ -54,9 +54,9 @@ row component-by-component and in a pointwise sense. Furthermore we have to
 distinguish two cases.
 
 The continuous and convex function $\mathcal{F}$ denotes the von Mises flow function
-$$\mathcal{F}(\tau) = \vert\tau^D\vert - \sigma_0¸\quad\text{with}\quad \tau^D
-= \tau - \dfrac{1}{3}tr(\tau)I,$$
-$\sigma_0$ as yield stress and $\vert .\vert$ as the frobenius norm. If there
+@f{gather*}\mathcal{F}(\tau) = \vert\tau^D\vert - \sigma_0¸\quad\text{with}\quad \tau^D
+= \tau - \dfrac{1}{3}tr(\tau)I,@f}
+$\sigma_0$ as yield stress and $\vert .\vert$ as the Frobenius norm. If there
 are no plastic deformations in a particular point - that is $\lambda=0$ - this yields $\vert\sigma^D\vert <
 \sigma_0$ and otherwise if $\lambda > 0$ it follows that $\vert\sigma^D\vert = \sigma_0$.
 That means if the stress is smaller than the yield stress there are only elastic
@@ -79,7 +79,7 @@ density $f$ which we will neglect in our example.
 The boundary of $\Omega$ separates as follows $\Gamma=\Gamma_D\bigcup\Gamma_C$ and $\Gamma_D\bigcap\Gamma_C=\emptyset$.
 At the boundary $\Gamma_D$ we have zero Dirichlet conditions. $\Gamma_C$ denotes the potential contact boundary.\\
 The last two lines decribe the so-called Signorini contact conditions. If there is no contact the normal  stress
-$$ \sigma_n =  \sigma n\cdot n$$
+@f{gather*} \sigma_n =  \sigma n\cdot n@f}
 is zero with the outward normal $n$. If there is contact ($u_n = g$) the tangential stress $\sigma_t = \sigma\cdot n - \sigma_n n$
 vanishes, because we consider a frictionless situation and the normal stress is
 negative. The gap $g$ comes with the start configuration of the obstacle and the
@@ -90,31 +90,31 @@ deformable body.
 
 As a starting point to derive the equations above, let us imagine that we want
 to minimise an energy functional:
-$$E(\tau) := \dfrac{1}{2}\int\limits_{\Omega}\tau A \tau d\tau,\quad \tau\in \Pi W^{\textrm{div}}$$
+@f{gather*}E(\tau) := \dfrac{1}{2}\int\limits_{\Omega}\tau A \tau d\tau,\quad \tau\in \Pi W^{\textrm{div}}@f}
 with
-$$W^{\textrm{div}}:=\lbrace \tau\in
-L^2(\Omega,\mathbb{R}^{\textrm{dim}\times\textrm{dim}}_{\textrm{sym}}):\textrm{div}(\tau)\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^{\textrm{dim}})\rbrace$$ and
-$$\Pi \Sigma:=\lbrace \tau\in \Sigma, \mathcal{F}(\tau)\leq 0\rbrace$$
+@f{gather*}W^{\textrm{div}}:=\lbrace \tau\in
+L^2(\Omega,\mathbb{R}^{\textrm{dim}\times\textrm{dim}}_{\textrm{sym}}):\textrm{div}(\tau)\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^{\textrm{dim}})\rbrace@f} and
+@f{gather*}\Pi \Sigma:=\lbrace \tau\in \Sigma, \mathcal{F}(\tau)\leq 0\rbrace@f}
 as the set of admissible stresses which is defined
 by a continious, convex flow function $\mathcal{F}$.
 
 With the goal of deriving the dual formulation of the minimisation
 problem, we define a lagrange function:
-$$L(\tau,\varphi) := E(\tau) + (\varphi, \textrm{div}(\tau)),\quad \lbrace\tau,\varphi\rbrace\in\Pi W^{\textrm{div}}\times V^+$$
+@f{gather*}L(\tau,\varphi) := E(\tau) + (\varphi, \textrm{div}(\tau)),\quad \lbrace\tau,\varphi\rbrace\in\Pi W^{\textrm{div}}\times V^+@f}
 with
-$$V^+ := \lbrace u\in V: u_n\leq g \text{ on } \Gamma_C \rbrace$$
-$$V:=\left[ H_0^1 \right]^{\textrm{dim}}:=\lbrace u\in \left[H^1(\Omega)\right]^{\textrm{dim}}: u
-= 0 \text{ on } \Gamma_D\rbrace$$
+@f{gather*}V^+ := \lbrace u\in V: u_n\leq g \text{ on } \Gamma_C \rbrace@f}
+@f{gather*}V:=\left[ H_0^1 \right]^{\textrm{dim}}:=\lbrace u\in \left[H^1(\Omega)\right]^{\textrm{dim}}: u
+= 0 \text{ on } \Gamma_D\rbrace@f}
 By building the Fr&eacute;chet derivatives of $L$ for both components we obtain the
-dual formulation for the stationary case which is known as \textbf{Hencky-Type-Model}:\\
+dual formulation for the stationary case which is known as <i>Hencky-Type-Model</i>:\\
 Find a pair $\lbrace\sigma,u\rbrace\in \Pi W\times V^+$ with
-$$\left(A\sigma,\tau - \sigma\right) + \left(u, \textrm{div}(\tau) - \textrm{div}(\sigma)\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W^{\textrm{div}}$$
-$$-\left(\textrm{div}(\sigma),\varphi - u\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+.$$
+@f{gather*}\left(A\sigma,\tau - \sigma\right) + \left(u, \textrm{div}(\tau) - \textrm{div}(\sigma)\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W^{\textrm{div}}@f}
+@f{gather*}-\left(\textrm{div}(\sigma),\varphi - u\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+.@f}
 By integrating by parts and multiplying the first inequality by the elastic
 tensor $C=A^{-1}$ we achieve the primal-mixed version of our problem:
 Find a pair $\lbrace\sigma,u\rbrace\in \Pi W\times V^+$ with
-$$\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W$$
-$$\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+.$$
+@f{gather*}\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W@f}
+@f{gather*}\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+.@f}
 Therein $\varepsilon$ denotes the linearised deformation tensor with $\varepsilon(u) := \dfrac{1}{2}\left(\nabla u + \nabla u^T\right)$ for small deformations.\\
 Most materials - especially metals - have the property that they show some hardening effects during the forming process.
 There are different constitutive laws to describe those material behaviors. The
@@ -124,8 +124,8 @@ $\eta$ is the norm of the plastic strain $\eta = \vert \varepsilon -
 A\sigma\vert$.
 It can be considered by establishing an additional term in our primal-mixed formulation:\\
 Find a pair $\lbrace(\sigma,\xi),u\rbrace\in \Pi (W\times L^2(\Omega,\mathbb{R}))\times V^+$ with
-$$\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))$$
-$$\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,$$
+@f{gather*}\left(\sigma,\tau - \sigma\right) - \left(C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) + \gamma\left( \xi, \eta - \xi\right) \geq 0,\quad \forall (\tau,\eta)\in \Pi (W,L^2(\Omega,\mathbb{R}))@f}
+@f{gather*}\left(\sigma,\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,@f}
 with the hardening parameter $\gamma > 0$.
 
 Now we want to derive a primal problem which only depends on the displacement $u$. For that purpose we
@@ -134,28 +134,28 @@ theorem (see Grossmann, Roos: Numerical Treatment of Partial Differential
 Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007 and Frohne: FEM-Simulation
 der Umformtechnik metallischer Oberflächen im Mikrokosmos, Ph.D. thesis,
 University of Siegen, Germany, 2011) on
-$$\left(\sigma - C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W,$$
+@f{gather*}\left(\sigma - C\varepsilon(u), \tau - \sigma\right) \geq 0,\quad \forall \tau\in \Pi W,@f}
 which yields with the second inequality:\\
 Find the displacement $u\in V^+$ with
-$$\left(P_{\Pi}(C\varepsilon(u)),\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,$$
+@f{gather*}\left(P_{\Pi}(C\varepsilon(u)),\varepsilon(\varphi) - \varepsilon(u)\right) \geq 0,\quad \forall \varphi\in V^+,@f}
 with the projection:
-$$P_{\Pi}(\tau):=@f{cases}
+@f{gather*}P_{\Pi}(\tau):=@f{cases}
                         \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0 +  \gamma\xi,\\
                         \hat\alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0 +  \gamma\xi,
-                        @f}$$
+                        @f}@f}
 with the radius
-$$\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma\xi .$$
+@f{gather*}\hat\alpha := \sigma_0 + \gamma\xi .@f}
 With the relation $\xi = \vert\varepsilon(u) - A\sigma\vert$ it is possible to eliminate $\xi$ inside the projection $P_{\Pi}$:\\
-$$P_{\Pi}(\tau):=@f{cases}
+@f{gather*}P_{\Pi}(\tau):=@f{cases}
                         \tau, & \text{if }\vert\tau^D\vert \leq \sigma_0,\\
                         \alpha\dfrac{\tau^D}{\vert\tau^D\vert} + \dfrac{1}{3}tr(\tau), & \text{if }\vert\tau^D\vert > \sigma_0,
-                        @f}$$
-$$\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma}{2\mu+\gamma}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,$$
+                        @f}@f}
+@f{gather*}\alpha := \sigma_0 + \dfrac{\gamma}{2\mu+\gamma}\left(\vert\tau^D\vert - \sigma_0\right) ,@f}
 with a further material parameter $\mu>0$ called shear modulus. We refer that
 this only possible for isotropic plasticity.
 
 So what we do is to calculate the stresses by using Hooke's law for linear elastic,  isotropic materials
-$$\sigma = C \varepsilon(u) = 2\mu \varepsilon^D(u) + \kappa tr(\varepsilon(u))I = \left[2\mu\left(\mathbb{I} -\dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I\right]\varepsilon(u)$$
+@f{gather*}\sigma = C \varepsilon(u) = 2\mu \varepsilon^D(u) + \kappa tr(\varepsilon(u))I = \left[2\mu\left(\mathbb{I} -\dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I\right]\varepsilon(u)@f}
 with the material parameter $\kappa>0$ (bulk modulus). The variables $I$ and
 $\mathbb{I}$ denote the identity tensors of second and forth order. In that
 notation $2\mu \varepsilon^D(u)$ is the deviatoric part and $\kappa
@@ -178,7 +178,7 @@ method - inexact since we use an iterative solver for the linearised problems in
 <h3>Linearisation of the constitutive law for the Newton method</h3>
 
 For the Newton method we have to linearise the following semi-linearform
-$$a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\varphi)),\varepsilon(\varphi)\right).$$
+@f{gather*}a(\psi;\varphi) := \left(P_{\Pi}(C\varepsilon(\varphi)),\varepsilon(\varphi)\right).@f}
 Because we have to find the solution $u$ in the convex set $V^+$, we have to
 apply an SQP-method (SQP: sequential quadratic programming). That means we have
 to solve a minimisation problem for a known $u^i$ in every SQP-step of the form
@@ -189,13 +189,13 @@ to solve a minimisation problem for a known $u^i$ in every SQP-step of the form
  &\rightarrow& \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+.
 @f}
 Neglecting the constant terms $ a(u^i;u^i)$ and $ a'(u^i;u^i,u^i)$ we obtain the
-following minimisation problem $$\dfrac{1}{2} a'(u^i;u^{i+1},u^{i+1}) - F(u^i)\rightarrow \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+$$ with
-$$F(\varphi) := \left(a'(\varphi;\varphi,u^{i+1}) -  a(\varphi;u^{i+1}) \right).$$
+following minimisation problem @f{gather*}\dfrac{1}{2} a'(u^i;u^{i+1},u^{i+1}) - F(u^i)\rightarrow \textrm{min},\quad u^{i+1}\in V^+@f} with
+@f{gather*}F(\varphi) := \left(a'(\varphi;\varphi,u^{i+1}) -  a(\varphi;u^{i+1}) \right).@f}
 In the case of our constitutive law the Fr&eacute;chet derivative of the
 semi-linearform $a(.;.)$ at the point $u^i$ is
 
-$$a'(u^i;\psi,\varphi) =
-(I(x)\varepsilon(\psi),\varepsilon(\varphi)),\quad x\in\Omega,$$ $$
+@f{gather*}a'(u^i;\psi,\varphi) =
+(I(x)\varepsilon(\psi),\varepsilon(\varphi)),\quad x\in\Omega,@f} @f{gather*}
 I(x) := @f{cases}
 2\mu\left(\mathbb{I}  - \dfrac{1}{3} I\otimes I\right) + \kappa I\otimes I, &
 \quad \vert \tau^D \vert \leq \sigma_0\\
@@ -203,9 +203,9 @@ I(x) := @f{cases}
 - \dfrac{\tau^D\otimes\tau^D}{\vert\tau^D\vert}\right) + \kappa I\otimes I,
 &\quad \vert \tau^D \vert > \sigma_0
 @f}
-$$
+@f}
 with
-$$\tau^D :=  C\varepsilon^D(u^i).$$
+@f{gather*}\tau^D :=  C\varepsilon^D(u^i).@f}
 Remark that $a(.;.)$ is not differentiable in the common sense but it is
 slantly differentiable like the function for the contact problem and again we refer to
 Hintermueller, Ito, Kunisch: The primal-dual active set strategy as a semismooth newton method, SIAM J. OPTIM., 2003, Vol. 13, No. 3, pp. 865-888.
@@ -220,8 +220,8 @@ system of equations finally.
 
 We introduce a Lagrange multiplier $\lambda$ and the convex cone $K\subset W'$,
 $W'$ dual space of the trace space $W$ of $V$ restricted to $\Gamma_C$,
-$$K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
-\forall v\in W, v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}$$
+@f{gather*}K:=\{\mu\in W':\mu_T = 0,\quad\langle\mu n,v\rangle_{\Gamma_C}\geq 0,\quad
+\forall v\in W, v \ge 0\text{ on }\Gamma_C \}@f}
 of Lagrange multipliers, where $\langle\cdot,\cdot\rangle$
 denotes the duality pairing, i.e. a boundary integral, between $W'$ and $W$.
 Intuitively, $K$ is the cone of all "non-positive functions", except that $ K\subset
@@ -269,39 +269,39 @@ Newton method</h3>
 Now we describe an algorithm that combines the Newton-method, which we use for
 the nonlinear constitutive law, with the semismooth Newton method for the contact. It
 sums up the results of the sections before and works as follows:
-@f{itemize}
\item[(0)] Initialize $\mathcal{A}_k$ and $\mathcal{F}_k$, such that $\mathcal{S} = \mathcal{A}_k \cup \mathcal{F}_k$ and $\mathcal{A}_k \cap \mathcal{F}_k = \emptyset$ and set $k = 1$.
\item[(1)] Assemble the Newton matrix $a'(U^k;\varphi_i,\varphi_j)$ and the right-hand-side $F(U^k)$.
\item[(2)] Find the primal-dual pair $(U^k,\Lambda^k)$ that satisfies
+<ol>
<li> Initialize $\mathcal{A}_k$ and $\mathcal{F}_k$, such that $\mathcal{S} = \mathcal{A}_k \cup \mathcal{F}_k$ and $\mathcal{A}_k \cap \mathcal{F}_k = \emptyset$ and set $k = 1$.
<li> Assemble the Newton matrix $a'(U^k;\varphi_i,\varphi_j)$ and the right-hand-side $F(U^k)$.
<li> Find the primal-dual pair $(U^k,\Lambda^k)$ that satisfies
  @f{align*}
  AU^k + B\Lambda^k & = F, &\\
  \left[B^TU^k\right]_i & = G_i & \forall i\in\mathcal{A}_k,\\
  \Lambda^k_i & = 0 & \forall i\in\mathcal{F}_k.
  @f}
\item[(3)] Define the new active and inactive sets by
$$\mathcal{A}_{k+1}:=\lbrace i\in\mathcal{S}:\Lambda^k_i +
- c\left(\left[B^TU^k\right]_i - G_i\right) > 0\rbrace,$$
$$\mathcal{F}_{k+1}:=\lbrace i\in\mathcal{S}:\Lambda^k_i +
- c\left(\left[B^TU^k\right]_i - G_i\right) \leq 0\rbrace.$$
\item[(4)] If $\mathcal{A}_{k+1} = \mathcal{A}_k$ and $\vert
<li> Define the new active and inactive sets by
@f{gather*}\mathcal{A}_{k+1}:=\lbrace i\in\mathcal{S}:\Lambda^k_i +
+ c\left(\left[B^TU^k\right]_i - G_i\right) > 0\rbrace,@f}
@f{gather*}\mathcal{F}_{k+1}:=\lbrace i\in\mathcal{S}:\Lambda^k_i +
+ c\left(\left[B^TU^k\right]_i - G_i\right) \leq 0\rbrace.@f}
<li> If $\mathcal{A}_{k+1} = \mathcal{A}_k$ and $\vert
  F\left(U^{k+1}\right) \vert < \delta$ then stop, else set $k=k+1$ and go to
- step (1).
-@f}
+ step (2).
+</ol>
 
 The mass matrix $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $n>m$, is quadratic in our
 situation since $\Lambda^k$ is only defined on $\Gamma_C$:
-$$B_{ij} = @f{cases}
+@f{gather*}B_{ij} = \begin{cases}
 \int\limits_{\Gamma_C}\varphi_i^2(x)dx, & \text{if}\quad i=j\\
 0, & \text{if}\quad i\neq j.
-@f}$$
+\end{cases}@f}
 So $m$ denotes the size of $\Lambda^k$ and $i$ a degree of freedom. In our
 programm we use the structure of a quadratic sparse for $B\in\mathbb{R}^{n\times
 n}$ and the length of $\Lambda^k$ is $n$ with $\Lambda^k_i = 0$ for $i>m$.
 The vector $G$ is defined by a suitable approximation $g_h$ of the gap $g$
-$$G_i = @f{cases}
+@f{gather*}G_i = \begin{cases}
 \int\limits_{\Gamma_C}g_h(x)\varphi_i(x)dx, & \text{if}\quad i\leq m\\
 0, & \text{if}\quad i>m.
-@f}$$
+\end{cases}@f}
 
 Compared to step-41, step (1) is added but it should be clear
 from the sections above that we only linearize the problem. In step (2) we have to solve a linear
@@ -326,7 +326,7 @@ results it yields a quite reasonable adaptive mesh for the contact zone.
 
 <h3>Implementation</h3>
 
-This tutorial is essentailly a mixture of step-40 and step-41 but instead of
+This tutorial is essentially a mixture of step-40 and step-41 but instead of
 PETSc we let the Trilinos library deal with parallelizing the linear algebra
 (like in step-32). Since we are trying to solve a similar problem like in 
 step-41 we will use the same methods but now in parallel.
@@ -345,4 +345,5 @@ internal or external that keeps you going. This is the safest way to express
 motivation in Chinese. If your audience is Japanese, please see the other entry
 for motivation. This is a word in Japanese and Korean, but it means "motive
 power" or "kinetic energy" (without the motivation meaning that you are
-probably looking for)").
\ No newline at end of file
+probably looking for)").
+

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.