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Simplify formulas. With mathjax one can use latex formulas also for variable names...
authorMartin Kronbichler <kronbichler@lnm.mw.tum.de>
Tue, 26 Nov 2013 09:01:01 +0000 (09:01 +0000)
committerMartin Kronbichler <kronbichler@lnm.mw.tum.de>
Tue, 26 Nov 2013 09:01:01 +0000 (09:01 +0000)
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deal.II/examples/step-51/doc/intro.dox
deal.II/examples/step-51/doc/results.dox

index 6d476e0c78a54ae90fcfda69c24b1ddea2a5c466..e0d9cebf92206dcf35906636c83ce63e3b238657 100644 (file)
@@ -56,7 +56,7 @@ solution process.
 
 The above procedure also has a linear algebra interpretation and is referred to
 as static condensation. Let us write the complete linear system associated to
-the HDG problem as a block system with the discrete DG variables <i>U</i> as
+the HDG problem as a block system with the discrete DG variables $U$ as
 first block and the skeleton variables $\Lambda$ as the second block:
 @f{eqnarray*}
 \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
@@ -64,7 +64,7 @@ first block and the skeleton variables $\Lambda$ as the second block:
 =
 \begin{pmatrix} F \\ G \end{pmatrix}.
 @f}
-Our aim is now to eliminate the <i>U</i> block with a Schur complement
+Our aim is now to eliminate the $U$ block with a Schur complement
 approach similar to step-20, which results in the following two steps:
 @f{eqnarray*}
 (D - C A^{-1} B) \Lambda &=& G - C A^{-1} F, \\
@@ -74,15 +74,15 @@ The point is that the presence of $A^{-1}$ is not a problem because $A$ is a
 block diagonal matrix where each block corresponds to one cell and is
 therefore easy enough to invert.
 The coupling to other cells is introduced by the matrices
-<i>B</i> and <i>C</i> over the skeleton variable. The block-diagonality of
-<i>A</i> and the structure in <i>B</i> and <i>C</i> allow us to invert the
-matrix <i>A</i> element by element (the local solution of the Dirichlet
+$B$ and $C$ over the skeleton variable. The block-diagonality of
+$A$ and the structure in $B$ and $C$ allow us to invert the
+matrix $A$ element by element (the local solution of the Dirichlet
 problem) and subtract $CA^{-1}B$ from $D$. The steps in the Dirichlet-to-Neumann map concept hence correspond to
 <ol>
   <li> constructing the Schur complement matrix $D-C A^{-1} B$ and right hand side $G - C A^{-1} F$  <i>locally on each cell</i>
   and inserting the contribution into the global trace matrix in the usual way,
   <li> solving the Schur complement system for $\Lambda$, and
-  <li> solving for <i>U</i> using the second equation, given $\Lambda$.
+  <li> solving for $U$ using the second equation, given $\Lambda$.
 </ol>
 
 
@@ -227,11 +227,11 @@ both elements sharing a face, the above equation yields terms familiar
 from the DG method, with jumps of the solution over the cell boundaries.
 
 In the equation above, the space $\mathcal {W}_h^{p}$ for the scalar variable
-<i>u<sub>h</sub></i> is defined as the space of functions that are tensor
-product polynomials of degree <i>p</i> on each cell and discontinuous over the
+$u_h$ is defined as the space of functions that are tensor
+product polynomials of degree $p$ on each cell and discontinuous over the
 element boundaries $\mathcal Q_{-p}$, i.e., the space described by
 <code>FE_DGQ<dim>(p)</code>. The space for the gradient or flux variable
-<b>q</b><i><sub>h</sub></i> is a vector element space where each component is
+$\mathbf{q}_i$ is a vector element space where each component is
 a locally polynomial and discontinuous $\mathcal Q_{-p}$. In the code below,
 we collect these two local parts together in one FESystem where the first @p
 dim components denote the gradient part and the last scalar component
@@ -263,18 +263,18 @@ One special feature of the HDG methods is that they typically allow for
 constructing an enriched solution that gains accuracy. This post-processing
 takes the HDG solution in an element-by-element fashion and combines it such
 that one can get $\mathcal O(h^{p+2})$ order of accuracy when using
-polynomials of degree <i>p</i>. For this to happen, there are two necessary
+polynomials of degree $p$. For this to happen, there are two necessary
 ingredients:
 <ol>
   <li> The computed solution gradient $\mathbf{q}_h$ converges at optimal rate,
    i.e., $\mathcal{O}(h^{p+1})$.
   <li> The average of the scalar part of the solution, <i>u<sub>h</sub></i>,
-   on each cell <i>K</i> super-converges at rate $\mathcal{O}(h^{p+2})$.
+   on each cell $K$ super-converges at rate $\mathcal{O}(h^{p+2})$.
 </ol>
 
 We now introduce a new variable $u_h^* \in \mathcal{V}_h^{p+1}$, which we find
 by minimizing the expression $|\kappa \nabla u_h^* + \mathbf{q}_h|^2$ over the cell
-<i>K</i> under the constraint $\left(1, u_h^*\right)_K &=& \left(1,
+$K$ under the constraint $\left(1, u_h^*\right)_K = \left(1,
 u_h\right)_K$. The constraint is necessary because the minimization
 functional does not determine the constant part of $u_h^*$. This
 translates to the following system of equations:
@@ -286,7 +286,7 @@ translates to the following system of equations:
 @f}
 
 Since we test by the whole set of basis functions in the space of tensor
-product polynomials of degree <i>p</i>+1 in the second set of equations, this
+product polynomials of degree $p+1$ in the second set of equations, this
 is an overdetermined system with one more equation than unknowns. We fix this
 in the code below by omitting one of these equations (since the rows in the
 Laplacian are linearly dependent when representing a constant function). As we
@@ -312,7 +312,7 @@ separately and uses the gradient as the main source of information.
 For this tutorial program, we consider almost the same test case as in
 step-7. The computational domain is $\Omega := [-1,1]^d$ and the exact
 solution corresponds to the one in step-7, except for a scaling. We use the
-following source centers <i>x<sub>i</sub></i> for the exponentials
+following source centers $x_i$ for the exponentials
 <ul>
   <li> 1D:  $\{x_i\}^1 = \{ -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3} \}$,
   <li> 2D: $\{\mathbf{x}_i\}^2 = \{ (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),
index 56a040d44f2f9ad193f40ab2ee9622f4d8cd30c3..b202132fa14f649817a872e51bedc6f4fb828a72 100644 (file)
@@ -3,7 +3,7 @@
 <h3>Program output</h3>
 
 We first have a look at the output generated by the program when run in 2D. In
-the four images below, we show the solution for polynomial degree <i>p</i>=1
+the four images below, we show the solution for polynomial degree $p=1$
 and cycles 2, 3, 4, and 8 of the program. In the plots, we overlay the data
 generated from the internal data (DG part) with the skeleton part ($\hat{u}$)
 into the same plot. We had to generate two different data sets because cells
@@ -76,7 +76,7 @@ analytical solution.
   </tr>
 </table>
 
-Finally, we look at the solution for <i>p</i>=3 at cycle 2. Despite the coarse
+Finally, we look at the solution for $p=3$ at cycle 2. Despite the coarse
 mesh with only 64 cells, the post-processed solution is similar in quality
 to the linear solution (not post-processed) at cycle 8 with 4,096
 cells. This clearly shows the superiority of high order methods for smooth
@@ -147,8 +147,8 @@ convergence rates of Q1 elements in the $L_2$ norm for both the scalar
 variable and the gradient variable is apparent, as is the cubic rate for the
 postprocessed scalar variable in the $L_2$ norm. Note this distinctive
 feature of an HDG solution. In typical continuous finite elements, the
-gradient of the solution of order <i>p</i> converges at rate <i>p</i> only, as
-opposed to <i>p</i>+1 for the actual solution. Even though superconvergence
+gradient of the solution of order $p$ converges at rate $p$ only, as
+opposed to $p+1$ for the actual solution. Even though superconvergence
 results for finite elements are also available (e.g. superconvergent patch
 recovery first introduced by Zienkiewicz and Zhu), these are typically limited
 to structured meshes and other special cases. For Q3 HDG variables, the scalar
@@ -230,14 +230,14 @@ block structure in the matrix on the finest level.
 </table>
 
 The results in the graphs show that the HDG method is slower than continuous
-finite elements at <i>p</i>=1, about equally fast for cubic elements and
+finite elements at $p=1$, about equally fast for cubic elements and
 faster for sixth order elements. However, we have seen above that the HDG
 method actually produces solutions which are more accurate than what is
 represented in the original variables. Therefore, in the next two plots below
 we instead display the error of the post-processed solution for HDG (denoted
 by $p=1^*$ for example). We now see a clear advantage of HDG for the same
-amount of work for both <i>p</i>=3 and <i>p</i>=6, and about the same quality
-for <i>p</i>=1.
+amount of work for both $p=3$ and $p=6$, and about the same quality
+for $p=1$.
 
 <table align="center" border="1" cellspacing="3" cellpadding="3">
   <tr>
@@ -251,9 +251,9 @@ for <i>p</i>=1.
 </table>
 
 Since the HDG method actually produces results converging as
-<i>h</i><sup><i>p</i>+2</sup>, we should compare it to a continuous Galerkin
+$h^{p+2}$, we should compare it to a continuous Galerkin
 solution with the same asymptotic convergence behavior, i.e., FE_Q with degree
-<i>p</i>+1. If we do this, we get the convergence curves below. We see that
+$p+1$. If we do this, we get the convergence curves below. We see that
 CG with second order polynomials is again clearly better than HDG with
 linears. However, the advantage of HDG for higher orders remains.
 
@@ -270,7 +270,7 @@ linears. However, the advantage of HDG for higher orders remains.
 
 The results are in line with properties of DG methods in general: Best
 performance is typically not achieved for linear elements, but rather at
-somewhat higher order, usually around <i>p</i>=3. This is because of a
+somewhat higher order, usually around $p=3$. This is because of a
 volume-to-surface effect for discontinuous solutions with too much of the
 solution living on the surfaces and hence duplicating work when the elements
 are linear. Put in other words, DG methods are often most efficient when used
@@ -281,16 +281,16 @@ seemingly low accurate) representation of solutions.
 
 We now show the same figures in 3D: The first row shows the number of degrees
 of freedom and computing time versus the $L_2$ error in the scalar variable
-<i>u</i> for CG and HDG at order <i>p</i>, the second row shows the
+$u$ for CG and HDG at order $p$, the second row shows the
 post-processed HDG solution instead of the original one, and the third row
-compares the post-processed HDG solution with CG at order <i>p</i>+1. In 3D,
+compares the post-processed HDG solution with CG at order $p+1$. In 3D,
 the volume-to-surface effect makes the cost of HDG somewhat higher and the CG
 solution is clearly better than HDG for linears by any metric. For cubics, HDG
 and CG are of similar quality, whereas HDG is again more efficient for sixth
 order polynomials. One can alternatively also use the combination of FE_DGP
 and FE_FaceP instead of (FE_DGQ, FE_FaceQ), which do not use tensor product
-polynomials of degree <i>p</i> but Legendre polynomials of <i>complete</i>
-degree <i>p</i>. There are fewer degrees of freedom on the skeleton variable
+polynomials of degree $p$ but Legendre polynomials of <i>complete</i>
+degree $p$. There are fewer degrees of freedom on the skeleton variable
 for FE_FaceP for a given mesh size, but the solution quality (error vs. number
 of DoFs) is very similar to the results for FE_FaceQ.
 
@@ -326,7 +326,7 @@ sparse matrix structures and similar solvers (optimal AMG preconditioners for
 both without particular tuning of the AMG parameters on any of them) to give a
 fair picture of the cost versus accuracy of two methods, on a toy example. It
 should be noted however that geometric multigrid (GMG) for continuous finite elements is about a
-factor four to five faster for <i>p</i>=3 and <i>p</i>=6. The authors of this
+factor four to five faster for $p=3$ and $p=6$. The authors of this
 tutorial have not seen similarly advanced solvers for the HDG linear
 systems. Also, there are other implementation aspects for CG available such as
 fast matrix-free approaches as shown in step-37 that make higher order

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.