]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
Small editorial changes.
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 11 Sep 2013 13:13:42 +0000 (13:13 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Wed, 11 Sep 2013 13:13:42 +0000 (13:13 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@30674 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-51/doc/intro.dox

index 20c8ed7f91eedb22f363e012f0a2ff6155dda162..b9aaeb94d85f76a00d728f608bc2ff7071f63955 100644 (file)
@@ -8,8 +8,12 @@ discontinuous Galkerin method for the convection-diffusion equation.
 
 One common argument against the use of discontinuous Galerkin elements
 is the large number of globally coupled degrees of freedom that one
-must solve in an implicit system.  For the FE_DGP_Monomial basis, each 
-scalar solution component is represented by polynomials of degree p
+must solve in an implicit system.  This is because, unlike continuous finite
+elements, in typical discontinuous elements there is one degree of freedom at
+each vertex <i>for each of the adjacent elements</i>, rather than just one,
+and similarly for edges and faces.  As another example,
+for the FE_DGP_Monomial basis, each 
+scalar solution component is represented by polynomials of degree $p$
 which yields $(1/dim!)*\prod_{i=1}^{dim}(k+i)$ degrees of freedom per
 element.  Typically, all degrees of freedom in an element are coupled
 to all of the degrees of freedom in the adjacent elements.  The resulting
@@ -18,8 +22,8 @@ for systems of equations in dim=2 or dim=3.
 
 <h4> Reducing the size of the linear system </h4>
 To alleviate the computational cost of solving such large linear systems, 
-the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methodology has recently been 
-developed by Cockburn and co-workers 
+the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methodology was introduced
+by Cockburn and co-workers 
 (N.C. Nguyen and J. Peraire:
    <i>Hybridizable discontinuous Galerkin methods for partial differential 
    equations in continuum mechanics</i>, Journal of Computational Physics,
@@ -29,9 +33,9 @@ The HDG method achieves
 this goal by formulating the mathematical problem using Dirichlet-to-Neumann
 mappings.  The partial differential equations are first written as a first
 order system, and each field is then discretized via a DG method.  At this
-point the  single-valued ``trace'' values on the skeleton of the
-mesh, i.e. element edges, are taken to be independent unknown quantities.  
-The Dirichlet-to-Neumann map concept then permits the solution procedure:
+point the  single-valued "trace" values on the skeleton of the
+mesh, i.e. element faces, are taken to be independent unknown quantities.  
+The Dirichlet-to-Neumann map concept then permits the following solution procedure:
 <ol>
   <li>  Use local element interior data to enforce a Neumann condition on the 
 skeleton of the triangulation.  The global problem is then to solve for the 
@@ -58,21 +62,20 @@ approach similar to step-20, which results in the following two steps:
 (D - C A^{-1} B) \Lambda &=& G - C A^{-1} F \\
 A U &=& F - B \Lambda
 @f}
-The steps in the Dirichlet-to-Neumann map concept hence correspond to
+The point is that the presence of $A^{-1}$ is not a problem because $A$ is a
+block diagonal matrix where each block corresponds to one cell and is
+therefore easy enough to invert.
+The coupling to other cells is introduced by the matrices
+<i>B</i> and <i>C</i> over the skeleton variable. The block-diagonality of
+<i>A</i> and the structure in <i>B</i> and <i>C</i> allow us to invert the
+matrix <i>A</i> element by element (the local solution of the Dirichlet
+problem) and subtract $CA^{-1}B$ from $D$. The steps in the Dirichlet-to-Neumann map concept hence correspond to
 <ol>
   <li> constructing the Schur complement matrix $D-C A^{-1} B$ and right hand side $G - C A^{-1} F$,
   <li> solving the Schur complement system for $\Lambda$, and
   <li> solving the equation for <i>U</i> using the second equation which uses $\Lambda$.
 </ol>
 
-The important ingredient from the linear algebra point of view is that the
-matrix <i>A</i> is block-diagonal with block size equal to the number of
-degrees of freedom of the interior DG variables which are always only related
-to a single cell. The coupling to other cells is introduced by the matrices
-<i>B</i> and <i>C</i> over the skeleton variable. The block-diagonality of
-<i>A</i> and the structure in <i>B</i> and <i>C</i> allow us to invert the
-matrix <i>A</i> element by element (the local solution of the Dirichlet
-problem) and subtract $CA^{-1}B$ from $D$.
 
 <h4> Solution quality and rates of convergence</h4>
 Another criticism of traditional DG methods is that the approximate fluxes
@@ -118,16 +121,18 @@ We multiply these equations by the weight functions $\mathbf{v}, w$
 and integrate by parts over every element $K$ to obtain:
 @f{eqnarray*}
   (\kappa^{-1} \mathbf{q}, \mathbf{v})_K - (u, \nabla\cdot\mathbf{v})_K
-    + <\hat{u}, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>_{\partial K} &=& 0, \\
+    + \left<\hat{u}, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\right>_{\partial K} &=& 0, \\
   - (\mathbf{c} u + \mathbf{q}, \nabla w)_K 
-    + <(\hat{\mathbf{c} u}+\hat{\mathbf{q}})\cdot\mathbf{n}, w>_{\partial K}
+    + \left<(\hat{\mathbf{c} u}+\hat{\mathbf{q}})\cdot\mathbf{n}, w\right>_{\partial K}
     &=& (f,w)_K.
 @f}
 
-The terms decorated with a $\hat{}$ denote the numerical traces (also commonly referred
+The terms decorated with a hat denote the numerical traces (also commonly referred
 to as numerical fluxes).   They are approximations
 to the interior values on the boundary of the element.  To ensure conservation, 
-these terms must be single-valued on any given element edge $\partial K$.
+these terms must be single-valued on any given element edge $\partial K$ even
+though, with discontinuous shape functions, there may of course be multiple
+values coming from the cells adjacent to an interface.
 We eliminate the numerical trace $\hat{\mathbf{q}}$ by using traces of the form:
 @f{eqnarray*}
   \hat{\mathbf{c} u}+\hat{\mathbf{q}} = \mathbf{c}\hat{u} + \mathbf{q}
@@ -155,12 +160,12 @@ TODO:  update this equation!
 @f{eqnarray*}
   (\kappa^{-1} \mathbf{q}, \mathbf{v})_{\mathcal{T}}
     - (u, \nabla\cdot\mathbf{v})_{\mathcal{T}}
-    + <\lambda, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>_{\partial\mathcal{T}}
+    + \left<\lambda, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\right>_{\partial\mathcal{T}}
     &=&
-    - <g_D, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>_{\partial\Omega_D},
+    - \left<g_D, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\right>_{\partial\Omega_D},
 \\
   - (\mathbf{c} u + \mathbf{q}, \nabla w)_{\mathcal{T}}
-    + <(\hat{\mathbf{c}u} + \hat{\mathbf{q}})\cdot\mathbf{n}, w>_{\partial \mathcal{T}}
+    + \left<(\hat{\mathbf{c}u} + \hat{\mathbf{q}})\cdot\mathbf{n}, w\right>_{\partial \mathcal{T}}
     &=&
     (f, w)_{\mathcal{T}},
 \\
@@ -169,6 +174,7 @@ TODO:  update this equation!
     &=&
     <g_N, \mu>_{\partial\Omega_N}
 @f}
+for all $(\mathbf{v}, w, \mu)$.
 
 
 <h3> Problem specific data </h3>
@@ -202,4 +208,5 @@ Implementation notes:
 - WorkStream to parallelize local solvers.  Workstream is already used in step-32, step-44.
 - Reconstructing the trace
 - Post-processing the solution for superconvergence
-- DataOutFaces:  direct output of the global solution
\ No newline at end of file
+- DataOutFaces:  direct output of the global solution
+

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.