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We were incorrectly referring to something as the 'Rayleigh' number, but it wasn...
authorWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Sun, 16 Aug 2009 23:50:06 +0000 (23:50 +0000)
committerWolfgang Bangerth <bangerth@math.tamu.edu>
Sun, 16 Aug 2009 23:50:06 +0000 (23:50 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@19279 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-31/doc/intro.dox
deal.II/examples/step-31/step-31.cc

index f06b2d745f9fd8298a65bad5b699165178b30d97..abe5a04005687f7d86071186b5c97d4e0b7ce9eb 100644 (file)
@@ -29,7 +29,7 @@ can be neglected, the equations that describe such behavior are the
 Boussinesq equations that read as follows:
 @f{eqnarray*}
   -\nabla \cdot (2 \eta \varepsilon ({\mathbf u})) + \nabla p &=& 
-  -\mathrm{Ra} \; T \mathbf{g},
+  -\rho \beta \; T \mathbf{g},
   \\
   \nabla \cdot {\mathbf u} &=& 0,
   \\
@@ -51,7 +51,8 @@ will draw extensively on the experience we have gained in that program, in
 particular with regard to efficient linear Stokes solvers. 
 
 The forcing term of the fluid motion is the buoyancy of the
-fluid, expressed as the product of the Rayleigh number $\mathrm{Ra}$,
+fluid, expressed as the product of the density $\rho$, the thermal expansion
+coefficient $\beta$,
 the temperature <i>T</i> and the gravity vector <b>g</b> pointing downward. (A
 possibly more intuitive formulation would use $-\mathrm{Ra} \; (T-\bar T)
 \mathbf{g}$ as right hand side where $\bar T$ is the average
@@ -83,14 +84,18 @@ sometimes, as in the case of rock minerals at temperatures close to their
 melting point, $\eta$ may change by orders of magnitude over the typical range
 of temperatures.
 
-$\mathrm{Ra}$, called the <a
-href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_number">Rayleigh
-number</a>, is a dimensionless number that describes the ratio of heat
+We note that the Stokes equation above could be non-dimensionalized by
+introducing the <a target="_top"
+href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_number">Rayleigh 
+number</a> $\mathrm{Ra}=\frac{\|g\| \beta \rho}{\eta \kappa} \delta T L^3$ using a
+typical length scale $L$, typical temperature difference $\delta T$, density
+$\rho$, thermal diffusivity $\kappa$, and thermal conductivity $\kappa$.
+$\mathrm{Ra}$ is a dimensionless number that describes the ratio of heat
 transport due to convection induced by buoyancy changes from
 temperature differences, and of heat transport due to thermal
 diffusion. A small Rayleigh number implies that buoyancy is not strong
 relative to viscosity and fluid motion <b>u</b> is slow enough so
-that heat diffusion $\kappa\Delta T$ is the dominant heat transport
+that heat diffusion $\kappa\nabla T$ is the dominant heat transport
 term. On the other hand, a fluid with a high Rayleigh number will show
 vigorous convection that dominates heat conduction. 
 
index f8f5ace887705d69a8115f3605ab67cbc07cfc23..f48ee54347ed1855d9124f6002d802c6eba03323 100644 (file)
@@ -130,13 +130,15 @@ using namespace dealii;
                                 // 
                                 // Finally, or maybe firstly, at the top of
                                 // this namespace, we define the various
-                                // material constants we need ($\eta,\kappa$
-                                // and the Rayleigh number $Ra$):
+                                // material constants we need ($\eta,\kappa$,
+                                // density $\rho$ and the thermal expansion
+                                // coefficient $\beta$):
 namespace EquationData
 {
   const double eta = 1;
   const double kappa = 1e-6;
-  const double Rayleigh_number = 10;
+  const double beta = 10;
+  const double density = 1;
 
 
   template <int dim>
@@ -1773,7 +1775,8 @@ void BoussinesqFlowProblem<dim>::assemble_stokes_system ()
          const Point<dim> gravity = -( (dim == 2) ? (Point<dim> (0,1)) : 
                                        (Point<dim> (0,0,1)) );
          for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i)
-           local_rhs(i) += (-EquationData::Rayleigh_number *
+           local_rhs(i) += (-EquationData::density *
+                            EquationData::beta *
                             gravity * phi_u[i] * old_temperature)*
                            stokes_fe_values.JxW(q);
        }

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.