]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
Some expansion.
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 4 Feb 2013 17:28:38 +0000 (17:28 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 4 Feb 2013 17:28:38 +0000 (17:28 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@28223 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/doc/doxygen/tutorial/toc-list.html
deal.II/examples/step-5/doc/intro.dox
deal.II/examples/step-5/doc/tooltip

index 4a56b86be2b5cfbccb4e19b7499809643430c88d..92a02748aea68cc36c5443297edd1f99031374c2 100644 (file)
@@ -4,7 +4,7 @@
 <head>
 <title>Step-by-Step</title>
   <meta name="author" content="the deal.II authors <authors@dealii.org>">
-  <meta name="copyright" content="Copyright (C) 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2008, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012 by the deal.II authors">
+  <meta name="copyright" content="Copyright (C) 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2008, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 by the deal.II authors">
   <meta name="date" content="$Date$">
   <meta name="svn_id" content="$Id$">
   <meta name="keywords" content="deal.II,deal.II tutorial,deal II">
@@ -51,7 +51,8 @@
       <td> Computations on successively
       refined grids. Reading a grid from disk. Some optimizations.
       Using assertions. Non-constant coefficient in
-      the elliptic operator. Preconditioning the CG solver for the
+      the elliptic operator (yielding the extended Poisson
+      equation). Preconditioning the CG solver for the
       linear system of equations.
       </td></tr>
 
index 251d677560a311db44e9a6fc2ec352b6f9ed9b4d..7102702df49e44ca3f2881506e44fb1c25d350bc 100644 (file)
@@ -25,7 +25,7 @@ them are:
   <li> Finite element programs usually use extensive amounts of
        computing time, so some optimizations are sometimes
        necessary. We will show some of them.
-  <li> On the other side, finite element programs tend to be rather
+  <li> On the other hand, finite element programs tend to be rather
        complex, so debugging is an important aspect. We support safe
        programming by using assertions that check the validity of
        parameters and %internal states in a debug mode, but are removed
@@ -35,3 +35,35 @@ them are:
        preconditioned iterative solvers for the linear systems of
        equations.
 </ul>
+
+The equation to solve here is as follows:
+@f{align*}
+  -\nabla \cdot a(\mathbf x) \nabla u(\mathbf x) &= 1 \qquad\qquad & \text{in}\ \Omega,
+  \\
+  u &= 0 \qquad\qquad & \text{on}\ \partial\Omega.
+@f}
+If $a(\mathbf x)$ was a constant coefficient, this would simply be the Poisson
+equation. However, if it is indeed spatially variable, it is a more complex
+equation (often referred to as the "extended Poisson equation"). Depending on
+what the variable $u$ refers to it models a variety of situations with wide
+applicability:
+
+- If $u$ is the electric potential, then $-a\nabla u$ is the electric current
+  in a medium and the coefficient $a$ is the conductivity of the medium at any
+  given point. (In this situation, the right hand side of the equation would
+  be the electric source density and would usually be zero or consist of
+  localized, Delta-like, functions.)
+- If $u$ is the vertical deflection of a thin membrane, then $a$ would be a
+  measure of the local stiffness. This is the interpretation that will allow
+  us to interpret the images shown in the results section below.
+
+Since the Laplace/Poisson equation appears in so many contexts, there are many
+more interpretations than just the two listed above.
+
+When assembling the linear system for this equation, we need the weak form
+which here reads as follows:
+@f{align*}
+  (a \nabla \varphi, \nabla u) &= (\varphi, 1) \qquad \qquad \forall \varphi.
+@f}
+The implementation in the <code>assemble_system</code> function follows
+immediately from this.
index 4f09ebdbd72760c9c2acaf6c37bc02dc3d01ceb2..51b43ab8ecd2f4a9f2e8ea9622aff3b124ff734f 100644 (file)
@@ -1 +1 @@
-Reading a grid from disk. Computations on successively refined grids.
+Reading a grid from disk. Computations on successively refined grids. Variable coefficients.

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.