]> https://gitweb.dealii.org/ - dealii-svn.git/commitdiff
Talk about what one would have to change to get the pressure right.
authorbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Sat, 12 Sep 2009 04:41:02 +0000 (04:41 +0000)
committerbangerth <bangerth@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Sat, 12 Sep 2009 04:41:02 +0000 (04:41 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@19443 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/examples/step-32/doc/results.dox

index dce0e7882edaa8876fd2b024bd647de4b09b58cf..032eebe8ab0f0d7efb3845422d35853a3572db16 100644 (file)
@@ -344,4 +344,37 @@ in the @ref step_31 "step-31", here are a few more ideas:
   (downward) it will be compressed and because in that case $\mathbf u
   \cdot \mathbf g > 0$ we get a positive heat source. Conversely, the
   fluid will cool down if it moves against the direction of gravity.
+
+  Implementing this requires one additional step, however. As mentioned in the
+  introduction, we use a rather simplified model for gravity in which the
+  gravity force diminishes with depth, as if Earth had a homogenous
+  density. That isn't the case, however: the earth core is much denser than
+  the mantle, and gravity actually tops out at the core
+  mantle boundary. A consequence of this is that our computations predict
+  pressures around 80 GPa at the core mantle boundary, whereas in reality the
+  value is closer to 140 GPa. With a pressure wrong by so much, we can't
+  expect compression heating to be accurate.
+
+  A more realistic model for the gravity vector in the program would take the
+  spatially variable density into account, and that wouldn't actually be
+  terribly complicated: by integrating the PDE for the gravity potential under
+  the assumption that $\rho(\mathbf x)=\rho(r)$, we get
+  @f[
+    \varphi(r) = 4\pi G \int_0^r \frac 1{t^2} \int_0^t s^2 \rho(s) \; ds \; dt,
+  @f]
+  and consequently for the gravity vector
+  @f[
+    \mathbf g = - 4\pi G \frac 1{r^2} \left(
+      \int_0^r s^2 \rho(s) \; ds \right)
+    \frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|}.
+  @f]
+  This expression reduces to the one we use for the case that the density is
+  constant, but a more complete model would, for example, assume that the
+  density varies with the radius (in the simplest case it could be constant in
+  various layers). In either case, it can relatively easily be evaluated if
+  for non-trivial models of $\rho(r)$. Of course, a really complete model
+  would consider that $\rho$ can also vary in the tangential direction, for
+  example in a time dependent way as a consequence of the thermal expansion of
+  rocks as a result of the convection. Taking into account this self
+  gravitational effect of convection would be much harder, however.
 </ul>

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.