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authorhartmann <hartmann@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 19 Jul 1999 13:55:34 +0000 (13:55 +0000)
committerhartmann <hartmann@0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d>
Mon, 19 Jul 1999 13:55:34 +0000 (13:55 +0000)
git-svn-id: https://svn.dealii.org/trunk@1604 0785d39b-7218-0410-832d-ea1e28bc413d

deal.II/base/include/base/quadrature.h
deal.II/base/include/base/quadrature_lib.h

index 79bed6d69384054944b4b3665b7b4bc9a59ec040..85fc8b68f8499be0ebb81761f8411c394a546236 100644 (file)
  *
  * There are a number of derived classes, denoting concrete integration
  * formulae. These are named by a prefixed #Q#, the name of the formula
- * (e.g. #Gauss#) and finally the order of integration. For example,
- * #QGauss2<dim># denotes a second order Gauss integration formula in
- * any dimension. Second order means that it integrates polynomials of
- * third order exact. In general, a formula of order #n# exactly
- * integrates polynomials of order #2n-1#.
+ * (e.g. #Midpoint# or #Gauss#) and finally (only for Gauss integration 
+ * formulae) the number of quadrature points.
+ *
+ * For each quadrature formula
+ * there exists a number #m#, that denotes the maximal degree of polynomials
+ * the formula of integration is exact for. This number is given 
+ * in the documentation of each formula. The order of integration is then
+ * given by #m+1#, that means that the error representation of the quadrature 
+ * formula includes the $(m+1).$ derivative of the function to be integrated.
+ * As the $(m+1).$ derivate of polynomials of degree #m# is 0, the order of
+ * integration is always one larger than the degree of polynomials the
+ * quadrature formula is exact for. For example, the #Midpoint# quadrature
+ * formula is exact for polynomials of degree 1 (linear polynomials) and its order
+ * of integration is 2, i.e. `The midpoint-formula is of order 2'.
+ * 
+ * Note the special case of Gauss integration formulae: The number #n# in the
+ * n-Point-Gauss Quadrature formula #QGaussn# denotes the number of quadrature
+ * points of the formula in one dimension. This formula is exact for polynomials
+ * of degree #2n-1# and its order of integration is #2n#. For example,
+ * #QGauss2<1># denotes the 2-Point-Gauss quadrature formula in 1 dimension.
+ * It is exact for polynomials of degree 3 and its order of integration is 4.
  *
  * Most integration formulae in more than one space dimension are tensor
  * products of quadrature formulae in one space dimension, or more
  * generally the tensor product of a formula in #(dim-1)# dimensions and
  * one in one dimension. There is a special constructor to generate a
  * quadrature formula from two others.
- *
+ * For example, the #QGauss2<dim># formulae includes $2^dim$ quadrature points
+ * in #dim# dimensions but is still exact for polynomials of degree 3 and its
+ * order of integration is 4.
  *
  * For some programs it is necessary to have a quadrature object for faces.
  * These programs fail to link if compiled for only one space dimension,
@@ -44,7 +62,7 @@
  * necessary to provide a class #Point<0># to make the compiler happy. This
  * class also does nothing.
  *
- * @author Wolfgang Bangerth, 1998
+ * @author Wolfgang Bangerth, 1998, documentation: Ralf Hartmann, 1999
  */
 template <int dim>
 class Quadrature {
index 6982cd08aa4142d697dcb0ae23f28ff81956cbe8..455ddb9ca0293aa4eb2d719766206d3a8548f1fe 100644 (file)
@@ -10,7 +10,7 @@
 
 
 /**
- *  2-Point-Gauss quadrature formula.
+ *  2-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 3.
  *
  *  Reference: Ward Cheney, David Kincaid: Numerical Mathematics and Computing.
  */
@@ -24,7 +24,7 @@ class QGauss2 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- *  3-Point-Gauss quadrature formula.
+ *  3-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 5.
  *
  *  Reference: Ward Cheney, David Kincaid: Numerical Mathematics and Computing.
  */
@@ -38,7 +38,7 @@ class QGauss3 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- * 4-Point-Gauss quadrature formula.
+ * 4-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 7.
  *
  *  Reference: Ward Cheney, David Kincaid: Numerical Mathematics and Computing.
  */
@@ -53,7 +53,7 @@ class QGauss4 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- *  5-Point-Gauss quadrature formula.
+ *  5-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 9.
  *
  *  Reference: Ward Cheney, David Kincaid: Numerical Mathematics and Computing.
  */
@@ -67,7 +67,8 @@ class QGauss5 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- *  6-Point-Gauss quadrature formula. I have not found explicite
+ *  6-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 11.
+ *  I have not found explicite
  *  representations of the zeros of the Legendre functions of sixth
  *  and higher degree. If anyone finds them, please replace the existing
  *  numbers by these expressions.
@@ -85,7 +86,8 @@ class QGauss6 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- *  7-Point-Gauss quadrature formula. I have not found explicite
+ *  7-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 13.
+ *  I have not found explicite
  *  representations of the zeros of the Legendre functions of sixth
  *  and higher degree. If anyone finds them, please replace the existing
  *  numbers by these expressions.
@@ -103,7 +105,8 @@ class QGauss7 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- *  8-Point-Gauss quadrature formula. I have not found explicite
+ *  8-Point-Gauss quadrature formula, exact for polynomials of degree 15.
+ *  I have not found explicite
  *  representations of the zeros of the Legendre functions of sixth
  *  and higher degree. If anyone finds them, please replace the existing
  *  numbers by these expressions.
@@ -123,7 +126,7 @@ class QGauss8 : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- * First order midpoint quadrature rule.
+ * Midpoint quadrature rule, exact for linear polynomials.
  * For compatibility, this rule may be accessed as #QGauss1#, too.
  */
 template <int dim>
@@ -136,7 +139,7 @@ class QMidpoint : public Quadrature<dim>
 #define QGauss1 QMidpoint
 
 /**
- * Simpson quadrature rule.
+ * Simpson quadrature rule, exact for polynomials of degree 3. 
  */
 template <int dim>
 class QSimpson : public Quadrature<dim>
@@ -148,7 +151,7 @@ class QSimpson : public Quadrature<dim>
 
 
 /**
- * Trapezoidal quadrature rule.
+ * Trapezoidal quadrature rule, exact for linear polynomials.
  */
 template <int dim>
 class QTrapez : public Quadrature<dim>

In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and has been widely regarded as a bad move.

Douglas Adams


Typeset in Trocchi and Trocchi Bold Sans Serif.