From 6f1c7e8296543debb2d211bd4bbe5def9654c4ef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Peter Munch <peterrmuench@gmail.com>
Date: Wed, 24 Feb 2021 22:21:30 +0100
Subject: [PATCH] Add utility functions to evaluate values of arbitrary
 (remote) points

---
 doc/news/changes/major/20210228Munch-2        |   5 +
 .../base/mpi_remote_point_evaluation.h        | 526 +++++++++++++++++
 include/deal.II/base/mpi_tags.h               |   3 +
 .../deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h  | 301 ++++++++++
 source/base/CMakeLists.txt                    |   2 +
 source/base/mpi_remote_point_evaluation.cc    | 201 +++++++
 .../base/mpi_remote_point_evaluation.inst.in  |  24 +
 tests/remote_point_evaluation/CMakeLists.txt  |   4 +
 .../remote_point_evaluation_01.cc             | 555 ++++++++++++++++++
 ...remote_point_evaluation_01.mpirun=1.output |   7 +
 ...remote_point_evaluation_01.mpirun=4.output |  31 +
 .../remote_point_evaluation_02.cc             | 498 ++++++++++++++++
 ...remote_point_evaluation_02.mpirun=1.output |   7 +
 ...remote_point_evaluation_02.mpirun=5.output |  39 ++
 .../remote_point_evaluation_03.cc             | 462 +++++++++++++++
 ...remote_point_evaluation_03.mpirun=8.output |  87 +++
 .../vector_tools_evaluate_at_points_01.cc     | 271 +++++++++
 ...ools_evaluate_at_points_01.mpirun=8.output |   2 +
 .../vector_tools_evaluate_at_points_02.cc     | 347 +++++++++++
 ...ools_evaluate_at_points_02.mpirun=8.output | 419 +++++++++++++
 .../vector_tools_evaluate_at_points_03.cc     | 250 ++++++++
 ...ools_evaluate_at_points_03.mpirun=4.output |   2 +
 .../vector_tools_evaluate_at_points_04.cc     | 177 ++++++
 ...ools_evaluate_at_points_04.mpirun=1.output |   2 +
 ...ools_evaluate_at_points_04.mpirun=4.output |   2 +
 .../vector_tools_evaluate_at_points_05.cc     | 240 ++++++++
 ...ools_evaluate_at_points_05.mpirun=4.output |   2 +
 27 files changed, 4466 insertions(+)
 create mode 100644 doc/news/changes/major/20210228Munch-2
 create mode 100644 include/deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h
 create mode 100644 include/deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h
 create mode 100644 source/base/mpi_remote_point_evaluation.cc
 create mode 100644 source/base/mpi_remote_point_evaluation.inst.in
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/CMakeLists.txt
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.mpirun=1.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.mpirun=4.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.mpirun=1.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.mpirun=5.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.mpirun=8.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.mpirun=8.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.mpirun=8.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.mpirun=4.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=1.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=4.output
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.cc
 create mode 100644 tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.mpirun=4.output

diff --git a/doc/news/changes/major/20210228Munch-2 b/doc/news/changes/major/20210228Munch-2
new file mode 100644
index 0000000000..55f716267d
--- /dev/null
+++ b/doc/news/changes/major/20210228Munch-2
@@ -0,0 +1,5 @@
+New: The class Utilities::MPI::RemotePointEvaluation and the function
+VectorTools::evaluate_at_points() allow to work on arbitrary distributed
+points. 
+<br>
+(Peter Munch, Martin Kronbichler, Magdalena Schreter, Niklas Fehn, 2021/02/28)
diff --git a/include/deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h b/include/deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h
new file mode 100644
index 0000000000..bf1624a6a7
--- /dev/null
+++ b/include/deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h
@@ -0,0 +1,526 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+#ifndef dealii_mpi_mpi_remote_point_evaluation_h
+#define dealii_mpi_mpi_remote_point_evaluation_h
+
+#include <deal.II/base/config.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_tools.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools_cache.h>
+
+DEAL_II_NAMESPACE_OPEN
+
+
+namespace Utilities
+{
+  namespace MPI
+  {
+    /**
+     * Helper class to access values on non-matching grids.
+     *
+     * @note The name of the fields are chosen with the method
+     *   evaluate_and_process() in mind. Here, quantities are
+     *   computed at specified arbitrary positioned points (and even on remote
+     *   processes in the MPI universe) cell by cell and these values are sent
+     *   to requesting processes, which receive the result and resort the
+     *   result according to the points.
+     */
+    template <int dim, int spacedim = dim>
+    class RemotePointEvaluation
+    {
+    public:
+      /**
+       * Constructor.
+       *
+       * @param tolerance Tolerance in terms of unit cell coordinates for
+       *   determining all cells around a point passed to the class during
+       *   reinit(). Depending on the problem, it might be necessary to adjust
+       *   the tolerance in order to be able to identify a cell.
+       *   Floating point arithmetic implies that a point will, in general, not
+       *   lie exactly on a vertex, edge, or face.
+       */
+      RemotePointEvaluation(const double tolerance = 1e-6);
+
+      /**
+       * Destructor.
+       */
+      ~RemotePointEvaluation();
+
+      /**
+       * Set up internal data structures and communication pattern based on
+       * a list of points @p points and mesh description (@p tria and @p
+       * mapping).
+       */
+      void
+      reinit(const std::vector<Point<spacedim>> &points,
+             const Triangulation<dim, spacedim> &tria,
+             const Mapping<dim, spacedim> &      mapping);
+
+      /**
+       * Data of points positioned in a cell.
+       */
+      struct CellData
+      {
+        /**
+         * Level and index of cells.
+         */
+        std::vector<std::pair<int, int>> cells;
+
+        /**
+         * Pointers to beginning and ending of the (reference) points
+         * associated to the cell.
+         */
+        std::vector<unsigned int> reference_point_ptrs;
+
+        /**
+         * Reference points in the interval [0,1]^dim.
+         */
+        std::vector<Point<dim>> reference_point_values;
+      };
+
+      /**
+       * Evaluate function @p evaluation_function in the given  points and
+       * triangulation. The result is stored in @p output.
+       *
+       * @note If the map of points to cells is not a
+       *   one-to-one relation (is_map_unique()==false), the result needs to be
+       *   processed with the help of get_point_ptrs(). This
+       *   might be the case if a point coincides with a geometric entity (e.g.,
+       *   vertex) that is shared by multiple cells or a point is outside of the
+       *   computational domain.
+       */
+      template <typename T>
+      void
+      evaluate_and_process(
+        std::vector<T> &output,
+        std::vector<T> &buffer,
+        const std::function<void(const ArrayView<T> &, const CellData &)>
+          &evaluation_function) const;
+
+      /**
+       * This method is the inverse of the method evaluate_and_process(). It
+       * makes the data at the points, provided by @p input, available in the
+       * function @p evaluation_function.
+       */
+      template <typename T>
+      void
+      process_and_evaluate(
+        const std::vector<T> &input,
+        std::vector<T> &      buffer,
+        const std::function<void(const ArrayView<const T> &, const CellData &)>
+          &evaluation_function) const;
+
+      /**
+       * Return a CRS-like data structure to determine the position of the
+       * result corresponding a point and the amount.
+       */
+      const std::vector<unsigned int> &
+      get_point_ptrs() const;
+
+      /**
+       * Return if points and cells have a one-to-one relation. This is not the
+       * case if a point is not owned by any cell (the point is outside of the
+       * domain) or if multiple cells own the point (the point is positioned
+       * on a geometric entity shared by neighboring cells).
+       */
+      bool
+      is_map_unique() const;
+
+      /**
+       * Return the Triangulation object used during reinit().
+       */
+      const Triangulation<dim, spacedim> &
+      get_triangulation() const;
+
+      /**
+       * Return the Mapping object used during reinit().
+       */
+      const Mapping<dim, spacedim> &
+      get_mapping() const;
+
+      /**
+       * Return if the internal data structures have been set up and if yes
+       * whether they are still valid (and not invalidated due to changes of the
+       * Triangulation).
+       */
+      bool
+      is_ready() const;
+
+    private:
+      /**
+       * Tolerance to be used while determining the surrounding cells of a
+       * point.
+       */
+      const double tolerance;
+
+      /**
+       * Storage for the status of the triangulation signal.
+       */
+      boost::signals2::connection tria_signal;
+
+      /**
+       * Flag indicating if the reinit() function has been called and if yes
+       * the triangulation has not been modified since then (potentially
+       * invalidating the communication pattern).
+       */
+      bool ready_flag;
+
+      /**
+       * Reference to the Triangulation object used during reinit().
+       */
+      SmartPointer<const Triangulation<dim, spacedim>> tria;
+
+      /**
+       * Reference to the Mapping object used during reinit().
+       */
+      SmartPointer<const Mapping<dim, spacedim>> mapping;
+
+      /**
+       * (One-to-one) relation of points and cells.
+       */
+      bool unique_mapping;
+
+      /**
+       * Since for each point multiple or no results can be available, the
+       * pointers in this vector indicate the first and last entry associated
+       * with a point in a CRS-like fashion.
+       */
+      std::vector<unsigned int> point_ptrs;
+
+      /**
+       * Permutation index within a recv buffer.
+       */
+      std::vector<unsigned int> recv_permutation;
+
+      /**
+       * Pointers of ranges within a receive buffer that are filled by ranks
+       * specified by recv_ranks.
+       */
+      std::vector<unsigned int> recv_ptrs;
+
+      /**
+       * Ranks from where data is received.
+       */
+      std::vector<unsigned int> recv_ranks;
+
+      /**
+       * Point data sorted according to cells so that evaluation (incl. reading
+       * of degrees of freedoms) needs to performed only once per cell.
+       */
+      CellData cell_data;
+
+      /**
+       * Permutation index within a send buffer.
+       */
+      std::vector<unsigned int> send_permutation;
+
+      /**
+       * Ranks to send to.
+       */
+      std::vector<unsigned int> send_ranks;
+
+      /**
+       * Pointers of ranges within a send buffer to be sent to the ranks
+       * specified by send_ranks.
+       */
+      std::vector<unsigned int> send_ptrs;
+    };
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    template <typename T>
+    void
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::evaluate_and_process(
+      std::vector<T> &output,
+      std::vector<T> &buffer,
+      const std::function<void(const ArrayView<T> &, const CellData &)>
+        &evaluation_function) const
+    {
+#ifndef DEAL_II_WITH_MPI
+      Assert(false, ExcNeedsMPI());
+      (void)output;
+      (void)buffer;
+      (void)evaluation_function;
+#else
+      output.resize(point_ptrs.back());
+      buffer.resize(send_permutation.size() * 2);
+      ArrayView<T> buffer_1(buffer.data(), buffer.size() / 2);
+      ArrayView<T> buffer_2(buffer.data() + buffer.size() / 2,
+                            buffer.size() / 2);
+
+      // evaluate functions at points
+      evaluation_function(buffer_1, cell_data);
+
+      // sort for communication
+      for (unsigned int i = 0; i < send_permutation.size(); ++i)
+        buffer_2[send_permutation[i]] = buffer_1[i];
+
+      // process remote quadrature points and send them away
+      std::map<unsigned int, std::vector<char>> temp_map;
+
+      std::vector<MPI_Request> requests;
+      requests.reserve(send_ranks.size());
+
+      const unsigned int my_rank =
+        Utilities::MPI::this_mpi_process(tria->get_communicator());
+
+      std::map<unsigned int, std::vector<T>> temp_recv_map;
+
+      for (unsigned int i = 0; i < send_ranks.size(); ++i)
+        {
+          if (send_ranks[i] == my_rank)
+            {
+              // process locally-owned values
+              temp_recv_map[my_rank] =
+                std::vector<T>(buffer_2.begin() + send_ptrs[i],
+                               buffer_2.begin() + send_ptrs[i + 1]);
+              continue;
+            }
+
+          temp_map[send_ranks[i]] =
+            Utilities::pack(std::vector<T>(buffer_2.begin() + send_ptrs[i],
+                                           buffer_2.begin() + send_ptrs[i + 1]),
+                            false);
+
+          auto &buffer = temp_map[send_ranks[i]];
+
+          requests.push_back(MPI_Request());
+
+          MPI_Isend(buffer.data(),
+                    buffer.size(),
+                    MPI_CHAR,
+                    send_ranks[i],
+                    internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                    tria->get_communicator(),
+                    &requests.back());
+        }
+
+      for (const auto recv_rank : recv_ranks)
+        {
+          if (recv_rank == my_rank)
+            continue;
+
+          MPI_Status status;
+          MPI_Probe(MPI_ANY_SOURCE,
+                    internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                    tria->get_communicator(),
+                    &status);
+
+          int message_length;
+          MPI_Get_count(&status, MPI_CHAR, &message_length);
+
+          std::vector<char> buffer(message_length);
+
+          MPI_Recv(buffer.data(),
+                   buffer.size(),
+                   MPI_CHAR,
+                   status.MPI_SOURCE,
+                   internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                   tria->get_communicator(),
+                   MPI_STATUS_IGNORE);
+
+          temp_recv_map[status.MPI_SOURCE] =
+            Utilities::unpack<std::vector<T>>(buffer, false);
+        }
+
+      // make sure all messages have been sent
+      MPI_Waitall(requests.size(), requests.data(), MPI_STATUSES_IGNORE);
+
+      // copy received data into output vector
+      auto it = recv_permutation.begin();
+      for (const auto &j : temp_recv_map)
+        for (const auto &i : j.second)
+          {
+            output[*it] = i;
+            it++;
+          }
+#endif
+    }
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    template <typename T>
+    void
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::process_and_evaluate(
+      const std::vector<T> &input,
+      std::vector<T> &      buffer,
+      const std::function<void(const ArrayView<const T> &, const CellData &)>
+        &evaluation_function) const
+    {
+#ifndef DEAL_II_WITH_MPI
+      Assert(false, ExcNeedsMPI());
+      (void)input;
+      (void)buffer;
+      (void)evaluation_function;
+#else
+      const auto &ptr = this->get_point_ptrs();
+
+      std::map<unsigned int, std::vector<T>> temp_recv_map;
+
+      for (unsigned int i = 0; i < recv_ranks.size(); ++i)
+        temp_recv_map[recv_ranks[i]].resize(recv_ptrs[i + 1] - recv_ptrs[i]);
+
+      const unsigned int my_rank =
+        Utilities::MPI::this_mpi_process(tria->get_communicator());
+
+#  ifdef DEBUG
+      {
+        unsigned int i = 0;
+
+        for (auto &j : temp_recv_map)
+          i += j.second.size();
+
+        AssertDimension(recv_permutation.size(), i);
+      }
+#  endif
+
+      {
+        // duplicate data to be able to sort it more easily in the next step
+        std::vector<T> buffer_(ptr.back());
+        for (unsigned int i = 0, c = 0; i < ptr.size() - 1; ++i)
+          {
+            const auto n_entries = ptr[i + 1] - ptr[i];
+
+            for (unsigned int j = 0; j < n_entries; ++j, ++c)
+              buffer_[c] = input[i];
+          }
+
+        // sort data according to the ranks
+        auto it = recv_permutation.begin();
+        for (auto &j : temp_recv_map)
+          for (auto &i : j.second)
+            {
+              i = buffer_[*it];
+              it++;
+            }
+      }
+
+      // buffer.resize(point_ptrs.back());
+      buffer.resize(send_permutation.size() * 2);
+      ArrayView<T> buffer_1(buffer.data(), buffer.size() / 2);
+      ArrayView<T> buffer_2(buffer.data() + buffer.size() / 2,
+                            buffer.size() / 2);
+
+      // process remote quadrature points and send them away
+      std::map<unsigned int, std::vector<char>> temp_map;
+
+      std::vector<MPI_Request> requests;
+      requests.reserve(recv_ranks.size());
+
+      for (const auto recv_rank : recv_ranks)
+        {
+          if (recv_rank == my_rank)
+            continue;
+
+          temp_map[recv_rank] =
+            Utilities::pack(temp_recv_map[recv_rank], false);
+
+          auto &buffer_send = temp_map[recv_rank];
+
+          requests.push_back(MPI_Request());
+
+          MPI_Isend(buffer_send.data(),
+                    buffer_send.size(),
+                    MPI_CHAR,
+                    recv_rank,
+                    internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                    tria->get_communicator(),
+                    &requests.back());
+        }
+
+      for (unsigned int i = 0; i < send_ranks.size(); ++i)
+        {
+          if (send_ranks[i] == my_rank)
+            {
+              const auto &buffer_send = temp_recv_map[send_ranks[i]];
+              // process locally-owned values
+              const unsigned int j = std::distance(send_ranks.begin(),
+                                                   std::find(send_ranks.begin(),
+                                                             send_ranks.end(),
+                                                             my_rank));
+
+              AssertDimension(buffer_send.size(),
+                              send_ptrs[j + 1] - send_ptrs[j]);
+
+              for (unsigned int i = send_ptrs[j], c = 0; i < send_ptrs[j + 1];
+                   ++i, ++c)
+                buffer_1[i] = buffer_send[c];
+
+              continue;
+            }
+
+          MPI_Status status;
+          MPI_Probe(MPI_ANY_SOURCE,
+                    internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                    tria->get_communicator(),
+                    &status);
+
+          int message_length;
+          MPI_Get_count(&status, MPI_CHAR, &message_length);
+
+          std::vector<char> recv_buffer(message_length);
+
+          MPI_Recv(recv_buffer.data(),
+                   recv_buffer.size(),
+                   MPI_CHAR,
+                   status.MPI_SOURCE,
+                   internal::Tags::remote_point_evaluation,
+                   tria->get_communicator(),
+                   MPI_STATUS_IGNORE);
+
+
+          const auto recv_buffer_unpacked =
+            Utilities::unpack<std::vector<T>>(recv_buffer, false);
+
+          auto ptr =
+            std::find(send_ranks.begin(), send_ranks.end(), status.MPI_SOURCE);
+
+          Assert(ptr != send_ranks.end(), ExcNotImplemented());
+
+          const unsigned int j = std::distance(send_ranks.begin(), ptr);
+
+          AssertDimension(recv_buffer_unpacked.size(),
+                          send_ptrs[j + 1] - send_ptrs[j]);
+
+          for (unsigned int i = send_ptrs[j], c = 0; i < send_ptrs[j + 1];
+               ++i, ++c)
+            {
+              AssertIndexRange(i, buffer_1.size());
+              AssertIndexRange(c, recv_buffer_unpacked.size());
+              buffer_1[i] = recv_buffer_unpacked[c];
+            }
+        }
+
+      MPI_Waitall(requests.size(), requests.data(), MPI_STATUSES_IGNORE);
+
+      // sort for easy access during function call
+      for (unsigned int i = 0; i < send_permutation.size(); ++i)
+        buffer_2[i] = buffer_1[send_permutation[i]];
+
+      // evaluate function at points
+      evaluation_function(buffer_2, cell_data);
+#endif
+    }
+
+  } // end of namespace MPI
+} // end of namespace Utilities
+
+
+DEAL_II_NAMESPACE_CLOSE
+
+#endif
diff --git a/include/deal.II/base/mpi_tags.h b/include/deal.II/base/mpi_tags.h
index 283003825e..2b8625014e 100644
--- a/include/deal.II/base/mpi_tags.h
+++ b/include/deal.II/base/mpi_tags.h
@@ -139,6 +139,9 @@ namespace Utilities
           // Utilities::MPI::compute_union
           compute_union,
 
+          // Utilities::MPI::RemotePointEvaluation
+          remote_point_evaluation,
+
         };
       } // namespace Tags
     }   // namespace internal
diff --git a/include/deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h b/include/deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h
new file mode 100644
index 0000000000..6864b832c8
--- /dev/null
+++ b/include/deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h
@@ -0,0 +1,301 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+
+#ifndef dealii_vector_tools_evaluation_h
+#define dealii_vector_tools_evaluation_h
+
+#include <deal.II/base/config.h>
+
+#include <deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+
+#include <map>
+
+DEAL_II_NAMESPACE_OPEN
+
+namespace VectorTools
+{
+  /**
+   * Namespace for the flags for evaluate_at_points().
+   */
+  namespace EvaluationFlags
+  {
+    /**
+     * Flags for evaluate_at_points().
+     */
+    enum EvaluationFlags
+    {
+      /**
+       * Compute average.
+       */
+      avg = 0,
+      /**
+       * Compute maximum.
+       *
+       * @note Only available for scalar values.
+       */
+      max = 1,
+      /**
+       * Compute minimum.
+       *
+       * @note Only available for scalar values.
+       */
+      min = 2,
+      /**
+       * Take any value.
+       */
+      insert = 3
+    };
+  } // namespace EvaluationFlags
+
+  /**
+   * Given a (distributed) solution vector @p vector, evaluate the values at
+   * the (arbitrary and even remote) points specified by @p evaluation_points.
+   */
+  template <int n_components, int dim, int spacedim, typename VectorType>
+  std::vector<typename FEPointEvaluation<n_components, dim>::value_type>
+  evaluate_at_points(
+    const Mapping<dim> &                                  mapping,
+    const DoFHandler<dim, spacedim> &                     dof_handler,
+    const VectorType &                                    vector,
+    const std::vector<Point<spacedim>> &                  evaluation_points,
+    Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim, spacedim> &cache,
+    const EvaluationFlags::EvaluationFlags flags = EvaluationFlags::avg);
+
+  /**
+   * Given a (distributed) solution vector @p vector, evaluate the values at
+   * the points specified by @p cache which might have been set up by the
+   * above function.
+   *
+   * @note Refinement/coarsening/repartitioning leads to the invalidation of the
+   *   cache so that the above function has to be called again.
+   */
+  template <int n_components, int dim, int spacedim, typename VectorType>
+  std::vector<typename FEPointEvaluation<n_components, dim>::value_type>
+  evaluate_at_points(
+    const Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim, spacedim> &cache,
+    const DoFHandler<dim, spacedim> &                           dof_handler,
+    const VectorType &                                          vector,
+    const EvaluationFlags::EvaluationFlags flags = EvaluationFlags::avg);
+
+
+
+  // inlined functions
+
+
+#ifndef DOXYGEN
+  template <int n_components, int dim, int spacedim, typename VectorType>
+  inline std::vector<typename FEPointEvaluation<n_components, dim>::value_type>
+  evaluate_at_points(
+    const Mapping<dim> &                                  mapping,
+    const DoFHandler<dim, spacedim> &                     dof_handler,
+    const VectorType &                                    vector,
+    const std::vector<Point<spacedim>> &                  evaluation_points,
+    Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim, spacedim> &cache,
+    const EvaluationFlags::EvaluationFlags                flags)
+  {
+    cache.reinit(evaluation_points, dof_handler.get_triangulation(), mapping);
+
+    return evaluate_at_points<n_components>(cache, dof_handler, vector, flags);
+  }
+
+
+
+  namespace internal
+  {
+    /**
+     * Perform reduction for scalars.
+     */
+    template <typename T>
+    T
+    reduce(const EvaluationFlags::EvaluationFlags &flags,
+           const ArrayView<const T> &              values)
+    {
+      switch (flags)
+        {
+          case EvaluationFlags::avg:
+            {
+              return std::accumulate(values.begin(), values.end(), T{}) /
+                     (T(1.0) * values.size());
+            }
+          case EvaluationFlags::max:
+            return *std::max_element(values.begin(), values.end());
+          case EvaluationFlags::min:
+            return *std::min_element(values.begin(), values.end());
+          case EvaluationFlags::insert:
+            return values[0];
+          default:
+            Assert(false, ExcNotImplemented());
+            return values[0];
+        }
+    }
+
+
+
+    /**
+     * Perform reduction for tensors.
+     */
+    template <int rank, int dim, typename Number>
+    Tensor<rank, dim, Number>
+    reduce(const EvaluationFlags::EvaluationFlags &          flags,
+           const ArrayView<const Tensor<rank, dim, Number>> &values)
+    {
+      switch (flags)
+        {
+          case EvaluationFlags::avg:
+            {
+              return std::accumulate(values.begin(),
+                                     values.end(),
+                                     Tensor<rank, dim, Number>{}) /
+                     (Number(1.0) * values.size());
+            }
+          case EvaluationFlags::insert:
+            return values[0];
+          default:
+            Assert(false, ExcNotImplemented());
+            return values[0];
+        }
+    }
+  } // namespace internal
+
+
+
+  template <int n_components, int dim, int spacedim, typename VectorType>
+  inline std::vector<typename FEPointEvaluation<n_components, dim>::value_type>
+  evaluate_at_points(
+    const Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim, spacedim> &cache,
+    const DoFHandler<dim, spacedim> &                           dof_handler,
+    const VectorType &                                          vector,
+    const EvaluationFlags::EvaluationFlags                      flags)
+  {
+    using value_type =
+      typename FEPointEvaluation<n_components, dim>::value_type;
+
+    Assert(cache.is_ready(),
+           ExcMessage(
+             "Utilties::MPI::RemotePointEvaluation is not ready yet! "
+             "Please call Utilties::MPI::RemotePointEvaluation::reinit() "
+             "yourself or the other evaluate_at_points(), which does this for"
+             "you."));
+
+    Assert(&dof_handler.get_triangulation() == &cache.get_triangulation(),
+           ExcMessage(
+             "The provided Utilties::MPI::RemotePointEvaluation and DoFHandler "
+             "object have been set up with different Triangulation objects, "
+             "a scenario not supported!"));
+
+    // evaluate values at points if possible
+    const auto evaluation_point_results = [&]() {
+      // helper function for accessing the global vector and interpolating
+      // the results onto the points
+      const auto evaluation_function = [&](auto &      values,
+                                           const auto &cell_data) {
+        std::vector<typename VectorType::value_type> solution_values;
+
+        std::vector<std::unique_ptr<FEPointEvaluation<n_components, dim>>>
+          evaluators(dof_handler.get_fe_collection().size());
+
+        const auto get_evaluator = [&](const unsigned int active_fe_index)
+          -> FEPointEvaluation<n_components, dim> & {
+          if (evaluators[active_fe_index] == nullptr)
+            evaluators[active_fe_index] =
+              std::make_unique<FEPointEvaluation<n_components, dim>>(
+                cache.get_mapping(), dof_handler.get_fe(active_fe_index));
+
+          return *evaluators[active_fe_index];
+        };
+
+        for (unsigned int i = 0; i < cell_data.cells.size(); ++i)
+          {
+            typename DoFHandler<dim>::active_cell_iterator cell = {
+              &cache.get_triangulation(),
+              cell_data.cells[i].first,
+              cell_data.cells[i].second,
+              &dof_handler};
+
+            const ArrayView<const Point<dim>> unit_points(
+              cell_data.reference_point_values.data() +
+                cell_data.reference_point_ptrs[i],
+              cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+                cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+            solution_values.resize(
+              dof_handler.get_fe(cell->active_fe_index()).n_dofs_per_cell());
+            cell->get_dof_values(vector,
+                                 solution_values.begin(),
+                                 solution_values.end());
+
+            auto &evaluator = get_evaluator(cell->active_fe_index());
+
+            evaluator.evaluate(cell,
+                               unit_points,
+                               solution_values,
+                               dealii::EvaluationFlags::values);
+
+            for (unsigned int q = 0; q < unit_points.size(); ++q)
+              values[q + cell_data.reference_point_ptrs[i]] =
+                evaluator.get_value(q);
+          }
+      };
+
+      std::vector<value_type> evaluation_point_results;
+      std::vector<value_type> buffer;
+
+      cache.template evaluate_and_process<value_type>(evaluation_point_results,
+                                                      buffer,
+                                                      evaluation_function);
+
+      return evaluation_point_results;
+    }();
+
+    if (cache.is_map_unique())
+      {
+        // each point has exactly one result (unique map)
+        return evaluation_point_results;
+      }
+    else
+      {
+        // map is not unique (multiple or no results): postprocessing is needed
+        std::vector<value_type> unique_evaluation_point_results(
+          cache.get_point_ptrs().size() - 1);
+
+        const auto &ptr = cache.get_point_ptrs();
+
+        for (unsigned int i = 0; i < ptr.size() - 1; ++i)
+          {
+            const auto n_entries = ptr[i + 1] - ptr[i];
+            if (n_entries == 0)
+              continue;
+
+            unique_evaluation_point_results[i] =
+              internal::reduce(flags,
+                               ArrayView<const value_type>(
+                                 evaluation_point_results.data() + ptr[i],
+                                 n_entries));
+          }
+
+        return unique_evaluation_point_results;
+      }
+  }
+#endif
+} // namespace VectorTools
+
+DEAL_II_NAMESPACE_CLOSE
+
+#endif // dealii_vector_tools_boundary_h
diff --git a/source/base/CMakeLists.txt b/source/base/CMakeLists.txt
index c48dce79cc..6cc778da4b 100644
--- a/source/base/CMakeLists.txt
+++ b/source/base/CMakeLists.txt
@@ -48,6 +48,7 @@ SET(_unity_include_src
   mpi.cc
   mpi_consensus_algorithms.cc
   mpi_noncontiguous_partitioner.cc
+  mpi_remote_point_evaluation.cc
   mu_parser_internal.cc
   multithread_info.cc
   named_selection.cc
@@ -132,6 +133,7 @@ SET(_inst
   geometric_utilities.inst.in
   mpi.inst.in
   mpi_noncontiguous_partitioner.inst.in
+  mpi_remote_point_evaluation.inst.in
   partitioner.inst.in
   partitioner.cuda.inst.in
   polynomials_rannacher_turek.inst.in
diff --git a/source/base/mpi_remote_point_evaluation.cc b/source/base/mpi_remote_point_evaluation.cc
new file mode 100644
index 0000000000..8f7a01f4fa
--- /dev/null
+++ b/source/base/mpi_remote_point_evaluation.cc
@@ -0,0 +1,201 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+#include <deal.II/base/config.h>
+
+#include <deal.II/base/bounding_box.h>
+#include <deal.II/base/mpi_consensus_algorithms.h>
+#include <deal.II/base/mpi_consensus_algorithms.templates.h>
+#include <deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+
+#include <deal.II/fe/mapping.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_tools.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools_cache.h>
+#include <deal.II/grid/tria.h>
+
+DEAL_II_NAMESPACE_OPEN
+
+
+namespace Utilities
+{
+  namespace MPI
+  {
+    template <int dim, int spacedim>
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::RemotePointEvaluation(
+      const double tolerance)
+      : tolerance(tolerance)
+      , ready_flag(false)
+    {}
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::~RemotePointEvaluation()
+    {
+      if (tria_signal.connected())
+        tria_signal.disconnect();
+    }
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    void
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::reinit(
+      const std::vector<Point<spacedim>> &points,
+      const Triangulation<dim, spacedim> &tria,
+      const Mapping<dim, spacedim> &      mapping)
+    {
+#ifndef DEAL_II_WITH_MPI
+      Assert(false, ExcNeedsMPI());
+      (void)points;
+      (void)tria;
+      (void)mapping;
+#else
+      if (tria_signal.connected())
+        tria_signal.disconnect();
+
+      tria_signal =
+        tria.signals.any_change.connect([&]() { this->ready_flag = false; });
+
+      this->tria    = &tria;
+      this->mapping = &mapping;
+
+      std::vector<BoundingBox<spacedim>> local_boxes;
+      for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+        if (cell->is_locally_owned())
+          local_boxes.push_back(mapping.get_bounding_box(cell));
+
+      // create r-tree of bounding boxes
+      const auto local_tree = pack_rtree(local_boxes);
+
+      // compress r-tree to a minimal set of bounding boxes
+      const auto local_reduced_box = extract_rtree_level(local_tree, 0);
+
+      // gather bounding boxes of other processes
+      const auto global_bboxes =
+        Utilities::MPI::all_gather(tria.get_communicator(), local_reduced_box);
+
+      const GridTools::Cache<dim, spacedim> cache(tria, mapping);
+
+      const auto data =
+        GridTools::internal::distributed_compute_point_locations(
+          cache, points, global_bboxes, tolerance, true);
+
+      this->recv_ranks = data.recv_ranks;
+      this->recv_ptrs  = data.recv_ptrs;
+
+      this->send_ranks = data.send_ranks;
+      this->send_ptrs  = data.send_ptrs;
+
+      this->recv_permutation = {};
+      this->recv_permutation.resize(data.recv_components.size());
+      this->point_ptrs.assign(points.size() + 1, 0);
+      for (unsigned int i = 0; i < data.recv_components.size(); ++i)
+        {
+          AssertIndexRange(std::get<2>(data.recv_components[i]),
+                           this->recv_permutation.size());
+          this->recv_permutation[std::get<2>(data.recv_components[i])] = i;
+
+          AssertIndexRange(std::get<1>(data.recv_components[i]) + 1,
+                           this->point_ptrs.size());
+          this->point_ptrs[std::get<1>(data.recv_components[i]) + 1]++;
+        }
+
+      unique_mapping = true;
+      for (unsigned int i = 0; i < points.size(); ++i)
+        {
+          if (unique_mapping && this->point_ptrs[i + 1] != 1)
+            unique_mapping = false;
+          this->point_ptrs[i + 1] += this->point_ptrs[i];
+        }
+
+      cell_data        = {};
+      send_permutation = {};
+
+      std::pair<int, int> dummy{-1, -1};
+      for (const auto &i : data.send_components)
+        {
+          if (dummy != std::get<0>(i))
+            {
+              dummy = std::get<0>(i);
+              cell_data.cells.emplace_back(dummy);
+              cell_data.reference_point_ptrs.emplace_back(
+                cell_data.reference_point_values.size());
+            }
+
+          cell_data.reference_point_values.emplace_back(std::get<3>(i));
+          send_permutation.emplace_back(std::get<5>(i));
+        }
+
+      cell_data.reference_point_ptrs.emplace_back(
+        cell_data.reference_point_values.size());
+
+      this->ready_flag = true;
+#endif
+    }
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    const std::vector<unsigned int> &
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::get_point_ptrs() const
+    {
+      return point_ptrs;
+    }
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    bool
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::is_map_unique() const
+    {
+      return unique_mapping;
+    }
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    const Triangulation<dim, spacedim> &
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::get_triangulation() const
+    {
+      return *tria;
+    }
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    const Mapping<dim, spacedim> &
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::get_mapping() const
+    {
+      return *mapping;
+    }
+
+
+
+    template <int dim, int spacedim>
+    bool
+    RemotePointEvaluation<dim, spacedim>::is_ready() const
+    {
+      return ready_flag;
+    }
+
+  } // end of namespace MPI
+} // end of namespace Utilities
+
+#include "mpi_remote_point_evaluation.inst"
+
+DEAL_II_NAMESPACE_CLOSE
diff --git a/source/base/mpi_remote_point_evaluation.inst.in b/source/base/mpi_remote_point_evaluation.inst.in
new file mode 100644
index 0000000000..08b5715f91
--- /dev/null
+++ b/source/base/mpi_remote_point_evaluation.inst.in
@@ -0,0 +1,24 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+
+
+for (deal_II_dimension : DIMENSIONS; deal_II_space_dimension : SPACE_DIMENSIONS)
+  {
+#if deal_II_dimension <= deal_II_space_dimension
+    template class Utilities::MPI::
+      RemotePointEvaluation<deal_II_dimension, deal_II_space_dimension>;
+#endif
+  }
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/CMakeLists.txt b/tests/remote_point_evaluation/CMakeLists.txt
new file mode 100644
index 0000000000..0305d274cd
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/CMakeLists.txt
@@ -0,0 +1,4 @@
+CMAKE_MINIMUM_REQUIRED(VERSION 3.1.0)
+INCLUDE(../setup_testsubproject.cmake)
+PROJECT(testsuite CXX)
+DEAL_II_PICKUP_TESTS()
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.cc b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.cc
new file mode 100644
index 0000000000..656fc793a6
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.cc
@@ -0,0 +1,555 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Integrate surface tension on surface mesh and test the result on background
+// mesh.
+
+#include <deal.II/base/mpi.h>
+#include <deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/distributed/shared_tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_nothing.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q_iso_q1.h>
+#include <deal.II/fe/fe_system.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe_field.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+#include <deal.II/grid/grid_out.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools_cache.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_block_vector.h>
+
+#include <deal.II/matrix_free/fe_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+
+using VectorType = LinearAlgebra::distributed::Vector<double>;
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+namespace dealii
+{
+  namespace VectorTools
+  {
+    template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+    void
+    get_position_vector(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler_dim,
+                        VectorType &                  euler_coordinates_vector,
+                        const Mapping<dim, spacedim> &mapping)
+    {
+      FEValues<dim, spacedim> fe_eval(
+        mapping,
+        dof_handler_dim.get_fe(),
+        Quadrature<dim>(dof_handler_dim.get_fe().get_unit_support_points()),
+        update_quadrature_points);
+
+      Vector<double> temp;
+
+      for (const auto &cell : dof_handler_dim.active_cell_iterators())
+        {
+          if (cell->is_locally_owned() == false)
+            continue;
+
+          fe_eval.reinit(cell);
+
+          temp.reinit(fe_eval.dofs_per_cell);
+
+          for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+            {
+              const auto point = fe_eval.quadrature_point(q);
+
+              const unsigned int comp =
+                dof_handler_dim.get_fe().system_to_component_index(q).first;
+
+              temp[q] = point[comp];
+            }
+
+          cell->set_dof_values(temp, euler_coordinates_vector);
+        }
+
+      euler_coordinates_vector.update_ghost_values();
+    }
+  } // namespace VectorTools
+} // namespace dealii
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+compute_normal(const Mapping<dim, spacedim> &   mapping,
+               const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler_dim,
+               VectorType &                     normal_vector)
+{
+  FEValues<dim, spacedim> fe_eval_dim(
+    mapping,
+    dof_handler_dim.get_fe(),
+    dof_handler_dim.get_fe().get_unit_support_points(),
+    update_normal_vectors | update_gradients);
+
+  Vector<double> normal_temp;
+
+  for (const auto &cell : dof_handler_dim.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_eval_dim.reinit(cell);
+
+      normal_temp.reinit(fe_eval_dim.dofs_per_cell);
+      normal_temp = 0.0;
+
+      for (const auto q : fe_eval_dim.quadrature_point_indices())
+        {
+          const auto normal = fe_eval_dim.normal_vector(q);
+
+          const unsigned int comp =
+            dof_handler_dim.get_fe().system_to_component_index(q).first;
+
+          normal_temp[q] = normal[comp];
+        }
+
+      cell->set_dof_values(normal_temp, normal_vector);
+    }
+
+  normal_vector.update_ghost_values();
+}
+
+
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+compute_curvature(const Mapping<dim, spacedim> &   mapping,
+                  const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler_dim,
+                  const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler,
+                  const Quadrature<dim>            quadrature,
+                  const VectorType &               normal_vector,
+                  VectorType &                     curvature_vector)
+{
+  FEValues<dim, spacedim> fe_eval(mapping,
+                                  dof_handler.get_fe(),
+                                  quadrature,
+                                  update_gradients);
+  FEValues<dim, spacedim> fe_eval_dim(mapping,
+                                      dof_handler_dim.get_fe(),
+                                      quadrature,
+                                      update_gradients);
+
+  Vector<double> curvature_temp;
+
+  for (const auto &cell : dof_handler.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      TriaIterator<DoFCellAccessor<dim, spacedim, false>> dof_cell_dim(
+        &dof_handler_dim.get_triangulation(),
+        cell->level(),
+        cell->index(),
+        &dof_handler_dim);
+
+      fe_eval.reinit(cell);
+      fe_eval_dim.reinit(dof_cell_dim);
+
+      curvature_temp.reinit(quadrature.size());
+
+      std::vector<std::vector<Tensor<1, spacedim, double>>> normal_gradients(
+        quadrature.size(), std::vector<Tensor<1, spacedim, double>>(spacedim));
+
+      fe_eval_dim.get_function_gradients(normal_vector, normal_gradients);
+
+      for (const auto q : fe_eval_dim.quadrature_point_indices())
+        {
+          double curvature = 0.0;
+
+          for (unsigned c = 0; c < spacedim; ++c)
+            curvature += normal_gradients[q][c][c];
+
+          curvature_temp[q] = curvature;
+        }
+
+      cell->set_dof_values(curvature_temp, curvature_vector);
+    }
+
+  curvature_vector.update_ghost_values();
+}
+
+
+
+template <int dim, int spacedim>
+void
+print(std::tuple<
+      std::vector<typename Triangulation<dim, spacedim>::active_cell_iterator>,
+      std::vector<std::vector<Point<dim>>>,
+      std::vector<std::vector<unsigned int>>,
+      std::vector<std::vector<Point<spacedim>>>,
+      std::vector<std::vector<unsigned int>>> result)
+{
+  for (unsigned int i = 0; i < std::get<0>(result).size(); ++i)
+    {
+      const unsigned int n_points = std::get<1>(result)[i].size();
+
+      std::cout << std::get<0>(result)[i]->level() << " "
+                << std::get<0>(result)[i]->index() << " x " << n_points
+                << std::endl;
+
+      for (unsigned int j = 0; j < n_points; ++j)
+        {
+          std::cout << std::get<1>(result)[i][j] << " - "
+                    << std::get<2>(result)[i][j] << " - "
+                    << std::get<3>(result)[i][j] << " - "
+                    << std::get<4>(result)[i][j] << std::endl;
+        }
+    }
+}
+
+
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+compute_force_vector_sharp_interface(
+  const Mapping<dim, spacedim> &   surface_mapping,
+  const DoFHandler<dim, spacedim> &surface_dofhandler,
+  const DoFHandler<dim, spacedim> &surface_dofhandler_dim,
+  const Quadrature<dim> &          surface_quadrature,
+  const Mapping<spacedim> &        mapping,
+  const DoFHandler<spacedim> &     dof_handler,
+  const double                     surface_tension,
+  const VectorType &               normal_vector,
+  const VectorType &               curvature_vector,
+  VectorType &                     force_vector)
+{
+  using T = Tensor<1, spacedim, double>;
+
+  const auto integration_points = [&]() {
+    std::vector<Point<spacedim>> integration_points;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    surface_dofhandler.get_fe(),
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_values | update_quadrature_points |
+                                      update_JxW_values);
+
+    for (const auto &cell :
+         surface_dofhandler.get_triangulation().active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_points.push_back(fe_eval.quadrature_point(q));
+      }
+
+    return integration_points;
+  }();
+
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<spacedim, spacedim> eval;
+  eval.reinit(integration_points, dof_handler.get_triangulation(), mapping);
+
+  const auto integration_values = [&]() {
+    std::vector<T> integration_values;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    surface_dofhandler.get_fe(),
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_values | update_quadrature_points |
+                                      update_JxW_values);
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval_dim(surface_mapping,
+                                        surface_dofhandler_dim.get_fe(),
+                                        surface_quadrature,
+                                        update_values);
+
+    const auto &tria_surface = surface_dofhandler.get_triangulation();
+
+    for (const auto &cell : tria_surface.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        TriaIterator<DoFCellAccessor<dim, spacedim, false>> dof_cell(
+          &tria_surface, cell->level(), cell->index(), &surface_dofhandler);
+        TriaIterator<DoFCellAccessor<dim, spacedim, false>> dof_cell_dim(
+          &tria_surface, cell->level(), cell->index(), &surface_dofhandler_dim);
+
+        fe_eval.reinit(dof_cell);
+        fe_eval_dim.reinit(dof_cell_dim);
+
+        std::vector<double>         curvature_values(fe_eval.dofs_per_cell);
+        std::vector<Vector<double>> normal_values(fe_eval.dofs_per_cell,
+                                                  Vector<double>(spacedim));
+
+        fe_eval.get_function_values(curvature_vector, curvature_values);
+        fe_eval_dim.get_function_values(normal_vector, normal_values);
+
+        for (const auto q : fe_eval_dim.quadrature_point_indices())
+          {
+            T result;
+            for (unsigned int i = 0; i < spacedim; ++i)
+              result[i] = -curvature_values[q] * normal_values[q][i] *
+                          fe_eval.JxW(q) * surface_tension;
+
+            integration_values.push_back(result);
+          }
+      }
+
+    return integration_values;
+  }();
+
+  const auto fu = [&](const auto &values, const auto &cell_data) {
+    AffineConstraints<double> constraints; // TODO: use the right ones
+
+    FEPointEvaluation<spacedim, spacedim> phi_force(mapping,
+                                                    dof_handler.get_fe());
+
+    std::vector<double>                  buffer;
+    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices;
+
+    for (unsigned int i = 0; i < cell_data.cells.size(); ++i)
+      {
+        typename DoFHandler<spacedim>::active_cell_iterator cell = {
+          &eval.get_triangulation(),
+          cell_data.cells[i].first,
+          cell_data.cells[i].second,
+          &dof_handler};
+
+        local_dof_indices.resize(cell->get_fe().n_dofs_per_cell());
+        buffer.resize(cell->get_fe().n_dofs_per_cell());
+
+        cell->get_dof_indices(local_dof_indices);
+
+        const ArrayView<const Point<spacedim>> unit_points(
+          cell_data.reference_point_values.data() +
+            cell_data.reference_point_ptrs[i],
+          cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+            cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        const ArrayView<const T> force_JxW(
+          values.data() + cell_data.reference_point_ptrs[i],
+          cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+            cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        for (unsigned int q = 0; q < unit_points.size(); ++q)
+          phi_force.submit_value(force_JxW[q], q);
+
+        phi_force.integrate(cell, unit_points, buffer, EvaluationFlags::values);
+
+        constraints.distribute_local_to_global(buffer,
+                                               local_dof_indices,
+                                               force_vector);
+      }
+  };
+
+  std::vector<T> buffer;
+
+  eval.template process_and_evaluate<T>(integration_values, buffer, fu);
+}
+
+
+
+template <int dim>
+void
+test()
+{
+  const unsigned int spacedim = dim + 1;
+
+  const unsigned int fe_degree      = 3;
+  const unsigned int mapping_degree = fe_degree;
+  const unsigned int n_refinements  = 5;
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim, spacedim> tria(
+    MPI_COMM_WORLD, Triangulation<dim, spacedim>::none, true);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(), 0.5);
+#else
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(0.02, 0.03), 0.5);
+#endif
+  tria.refine_global(n_refinements);
+
+  // quadrature rule and FE for curvature
+  FE_Q<dim, spacedim>       fe(fe_degree);
+  QGaussLobatto<dim>        quadrature(fe_degree + 1);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler(tria);
+  dof_handler.distribute_dofs(fe);
+
+  // FE for normal
+  FESystem<dim, spacedim>   fe_dim(fe, spacedim);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler_dim(tria);
+  dof_handler_dim.distribute_dofs(fe_dim);
+
+  // Set up MappingFEField
+  Vector<double> euler_vector(dof_handler_dim.n_dofs());
+  VectorTools::get_position_vector(dof_handler_dim,
+                                   euler_vector,
+                                   MappingQGeneric<dim, spacedim>(
+                                     mapping_degree));
+  MappingFEField<dim, spacedim> mapping(dof_handler_dim, euler_vector);
+
+
+  // compute normal vector
+  VectorType normal_vector(create_partitioner(dof_handler_dim));
+  compute_normal(mapping, dof_handler_dim, normal_vector);
+
+  // compute curvature
+  VectorType curvature_vector(create_partitioner(dof_handler));
+  compute_curvature(mapping,
+                    dof_handler_dim,
+                    dof_handler,
+                    quadrature,
+                    normal_vector,
+                    curvature_vector);
+
+#if false
+  const unsigned int background_n_global_refinements = 6;
+#else
+  const unsigned int background_n_global_refinements =
+    Utilities::MPI::n_mpi_processes(MPI_COMM_WORLD) == 1 ? 40 : 80;
+#endif
+  const unsigned int background_fe_degree = 2;
+
+  parallel::shared::Triangulation<spacedim> background_tria(
+    MPI_COMM_WORLD, Triangulation<spacedim>::none, true);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_cube(background_tria, -1.0, +1.0);
+#else
+  GridGenerator::subdivided_hyper_cube(background_tria,
+                                       background_n_global_refinements,
+                                       -2.5,
+                                       2.5);
+#endif
+  if (background_n_global_refinements < 20)
+    background_tria.refine_global(background_n_global_refinements);
+
+  FESystem<spacedim>   background_fe(FE_Q<spacedim>{background_fe_degree},
+                                   spacedim);
+  DoFHandler<spacedim> background_dof_handler(background_tria);
+  background_dof_handler.distribute_dofs(background_fe);
+
+  MappingQ1<spacedim> background_mapping;
+
+  VectorType force_vector_sharp_interface(
+    create_partitioner(background_dof_handler));
+
+  // write computed vectors to Paraview
+  if (false)
+    {
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(tria, "grid_surface");
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(background_tria,
+                                                "grid_background");
+    }
+
+  compute_force_vector_sharp_interface(mapping,
+                                       dof_handler,
+                                       dof_handler_dim,
+                                       QGauss<dim>(fe_degree + 1),
+                                       background_mapping,
+                                       background_dof_handler,
+                                       1.0,
+                                       normal_vector,
+                                       curvature_vector,
+                                       force_vector_sharp_interface);
+
+  force_vector_sharp_interface.update_ghost_values();
+
+  // write computed vectors to Paraview
+  if (true)
+    {
+      DataOutBase::VtkFlags flags;
+      // flags.write_higher_order_cells = true;
+
+      DataOut<dim, DoFHandler<dim, spacedim>> data_out;
+      data_out.set_flags(flags);
+      data_out.add_data_vector(dof_handler, curvature_vector, "curvature");
+      data_out.add_data_vector(dof_handler_dim, normal_vector, "normal");
+
+      data_out.build_patches(mapping,
+                             fe_degree + 1,
+                             DataOut<dim, DoFHandler<dim, spacedim>>::
+                               CurvedCellRegion::curved_inner_cells);
+      data_out.write_vtu_with_pvtu_record("./",
+                                          "data_surface",
+                                          0,
+                                          MPI_COMM_WORLD);
+    }
+
+  if (true)
+    {
+      DataOutBase::VtkFlags flags;
+      flags.write_higher_order_cells = true;
+
+      DataOut<spacedim> data_out;
+      data_out.set_flags(flags);
+      data_out.attach_dof_handler(background_dof_handler);
+      data_out.add_data_vector(background_dof_handler,
+                               force_vector_sharp_interface,
+                               "force");
+
+      data_out.build_patches(background_mapping, background_fe_degree + 1);
+      data_out.write_vtu_with_pvtu_record("./",
+                                          "data_background",
+                                          0,
+                                          MPI_COMM_WORLD);
+    }
+
+  force_vector_sharp_interface.print(deallog.get_file_stream());
+}
+
+
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  MPILogInitAll                    all;
+
+  test<1>();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.mpirun=1.output b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.mpirun=1.output
new file mode 100644
index 0000000000..9aeb4b01a1
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_01.mpirun=1.output
@@ -0,0 +1,7 @@
+
+Process #0
+Local range: [0, 13122), global size: 13122
+Vector data:
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(28264/0.000e+00) (28265/0.000e+00) (28266/0.000e+00) (28267/0.000e+00) (28268/0.000e+00) (28269/0.000e+00) (28270/0.000e+00) (28271/0.000e+00) (28272/0.000e+00) (28273/0.000e+00) (28274/0.000e+00) (28275/0.000e+00) (28276/0.000e+00) (28277/0.000e+00) (28278/0.000e+00) (28279/0.000e+00) (28280/0.000e+00) (28281/0.000e+00) (28282/0.000e+00) (28283/0.000e+00) (28284/0.000e+00) (28285/0.000e+00) (28286/0.000e+00) (28287/0.000e+00) (28288/0.000e+00) (28289/0.000e+00) (28290/0.000e+00) (28291/0.000e+00) (28292/0.000e+00) (28293/0.000e+00) (28294/0.000e+00) (28295/0.000e+00) (28296/0.000e+00) (28297/0.000e+00) (28298/0.000e+00) (28299/0.000e+00) (28300/0.000e+00) (28301/0.000e+00) (28302/5.151e-04) (28303/5.298e-04) (28304/0.000e+00) (28305/0.000e+00) (28306/0.000e+00) (28307/0.000e+00) (28308/0.000e+00) (28309/0.000e+00) (28310/-1.017e-03) (28311/-1.463e-03) (28312/-1.085e-03) (28313/-1.600e-03) (28314/-3.707e-03) (28315/-3.765e-03) (28316/0.000e+00) (28317/0.000e+00) (28318/1.292e-02) (28319/1.989e-02) (28320/2.058e-02) (28321/3.181e-02) (28322/3.681e-02) (28323/4.975e-02) (28324/5.755e-03) (28325/8.441e-03) (28326/-1.634e-04) (28327/-9.393e-04) (28328/4.235e-02) (28329/7.754e-02) 
+
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.cc b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.cc
new file mode 100644
index 0000000000..b7e23cf7b4
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.cc
@@ -0,0 +1,498 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Like remote_point_evaluation_01.cc but normal and curvature vector living on
+// background mesh.
+
+#include <deal.II/base/mpi.h>
+#include <deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/distributed/shared_tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_nothing.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q_iso_q1.h>
+#include <deal.II/fe/fe_system.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe_field.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+#include <deal.II/grid/grid_out.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools_cache.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_block_vector.h>
+
+#include <deal.II/matrix_free/fe_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+
+using VectorType = LinearAlgebra::distributed::Vector<double>;
+
+template <int dim>
+class NormalFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  NormalFunction()
+    : Function<dim>(dim)
+  {}
+
+  double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component) const
+  {
+    if (p.distance(Point<dim>()) < 1e-8)
+      return 0.0;
+
+    return (p / p.norm())[component];
+  }
+};
+
+template <int dim>
+class CurvatureFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  CurvatureFunction()
+    : Function<dim>(1)
+  {}
+
+  double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component) const
+  {
+    (void)p;
+    (void)component;
+    return 2.0;
+  }
+};
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+namespace dealii
+{
+  namespace VectorTools
+  {
+    template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+    void
+    get_position_vector(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler_dim,
+                        VectorType &                  euler_coordinates_vector,
+                        const Mapping<dim, spacedim> &mapping)
+    {
+      FEValues<dim, spacedim> fe_eval(
+        mapping,
+        dof_handler_dim.get_fe(),
+        Quadrature<dim>(dof_handler_dim.get_fe().get_unit_support_points()),
+        update_quadrature_points);
+
+      Vector<double> temp;
+
+      for (const auto &cell : dof_handler_dim.active_cell_iterators())
+        {
+          if (cell->is_locally_owned() == false)
+            continue;
+
+          fe_eval.reinit(cell);
+
+          temp.reinit(fe_eval.dofs_per_cell);
+
+          for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+            {
+              const auto point = fe_eval.quadrature_point(q);
+
+              const unsigned int comp =
+                dof_handler_dim.get_fe().system_to_component_index(q).first;
+
+              temp[q] = point[comp];
+            }
+
+          cell->set_dof_values(temp, euler_coordinates_vector);
+        }
+
+      euler_coordinates_vector.update_ghost_values();
+    }
+  } // namespace VectorTools
+} // namespace dealii
+
+
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+compute_force_vector_sharp_interface(
+  const Triangulation<dim, spacedim> &surface_mesh,
+  const Mapping<dim, spacedim> &      surface_mapping,
+  const Quadrature<dim> &             surface_quadrature,
+  const Mapping<spacedim> &           mapping,
+  const DoFHandler<spacedim> &        dof_handler,
+  const DoFHandler<spacedim> &        dof_handler_dim,
+  const double                        surface_tension,
+  const VectorType &                  normal_solution,
+  const VectorType &                  curvature_solution,
+  VectorType &                        force_vector)
+{
+  using T = double;
+
+  const auto integration_points = [&]() {
+    std::vector<Point<spacedim>> integration_points;
+
+    FE_Nothing<dim, spacedim> dummy;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    dummy,
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_quadrature_points);
+
+    for (const auto &cell : surface_mesh.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_points.push_back(fe_eval.quadrature_point(q));
+      }
+
+    return integration_points;
+  }();
+
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<spacedim, spacedim> eval;
+  eval.reinit(integration_points, dof_handler.get_triangulation(), mapping);
+
+  const auto integration_values = [&]() {
+    std::vector<T> integration_values;
+
+    FE_Nothing<dim, spacedim> dummy;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    dummy,
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_JxW_values);
+
+    for (const auto &cell : surface_mesh.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_values.push_back(fe_eval.JxW(q));
+      }
+
+    return integration_values;
+  }();
+
+  const auto fu = [&](const auto &values, const auto &cell_data) {
+    AffineConstraints<double> constraints; // TODO: use the right ones
+
+    FEPointEvaluation<1, spacedim> phi_curvature(mapping, dof_handler.get_fe());
+    FEPointEvaluation<spacedim, spacedim> phi_normal(mapping,
+                                                     dof_handler_dim.get_fe());
+    FEPointEvaluation<spacedim, spacedim> phi_force(mapping,
+                                                    dof_handler_dim.get_fe());
+
+    std::vector<double>                  buffer;
+    std::vector<double>                  buffer_dim;
+    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices;
+    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices_dim;
+
+    for (unsigned int i = 0; i < cell_data.cells.size(); ++i)
+      {
+        typename DoFHandler<spacedim>::active_cell_iterator cell = {
+          &eval.get_triangulation(),
+          cell_data.cells[i].first,
+          cell_data.cells[i].second,
+          &dof_handler};
+
+        typename DoFHandler<spacedim>::active_cell_iterator cell_dim = {
+          &eval.get_triangulation(),
+          cell_data.cells[i].first,
+          cell_data.cells[i].second,
+          &dof_handler_dim};
+
+        const ArrayView<const Point<spacedim>> unit_points(
+          cell_data.reference_point_values.data() +
+            cell_data.reference_point_ptrs[i],
+          cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+            cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        const ArrayView<const T> JxW(values.data() +
+                                       cell_data.reference_point_ptrs[i],
+                                     cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+                                       cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        // gather_evaluate curvature
+        {
+          local_dof_indices.resize(cell->get_fe().n_dofs_per_cell());
+          buffer.resize(cell->get_fe().n_dofs_per_cell());
+
+          cell->get_dof_indices(local_dof_indices);
+
+          constraints.get_dof_values(curvature_solution,
+                                     local_dof_indices.begin(),
+                                     buffer.begin(),
+                                     buffer.end());
+
+          phi_curvature.evaluate(cell,
+                                 unit_points,
+                                 make_array_view(buffer),
+                                 EvaluationFlags::values);
+        }
+
+        // gather_evaluate normal
+        {
+          local_dof_indices_dim.resize(cell_dim->get_fe().n_dofs_per_cell());
+          buffer_dim.resize(cell_dim->get_fe().n_dofs_per_cell());
+
+          cell_dim->get_dof_indices(local_dof_indices_dim);
+
+          constraints.get_dof_values(normal_solution,
+                                     local_dof_indices_dim.begin(),
+                                     buffer_dim.begin(),
+                                     buffer_dim.end());
+
+          phi_normal.evaluate(cell_dim,
+                              unit_points,
+                              make_array_view(buffer_dim),
+                              EvaluationFlags::values);
+        }
+
+        // perform operation on quadrature points
+        for (unsigned int q = 0; q < unit_points.size(); ++q)
+          phi_force.submit_value(surface_tension * phi_normal.get_value(q) *
+                                   phi_curvature.get_value(q) * JxW[q],
+                                 q);
+
+        // integrate_scatter force
+        {
+          phi_force.integrate(cell_dim,
+                              unit_points,
+                              buffer_dim,
+                              EvaluationFlags::values);
+
+          constraints.distribute_local_to_global(buffer_dim,
+                                                 local_dof_indices_dim,
+                                                 force_vector);
+        }
+      }
+  };
+
+  std::vector<T> buffer;
+
+  eval.template process_and_evaluate<T>(integration_values, buffer, fu);
+}
+
+
+
+template <int dim>
+void
+test()
+{
+  const unsigned int spacedim = dim + 1;
+
+  const unsigned int fe_degree      = 3;
+  const unsigned int mapping_degree = fe_degree;
+  const unsigned int n_refinements  = 5;
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim, spacedim> tria(
+    MPI_COMM_WORLD, Triangulation<dim, spacedim>::none, true);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(), 0.5);
+#else
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(0.02, 0.03), 0.5);
+#endif
+  tria.refine_global(n_refinements);
+
+  // quadrature rule and FE for curvature
+  FE_Q<dim, spacedim>       fe(fe_degree);
+  QGaussLobatto<dim>        quadrature(fe_degree + 1);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler(tria);
+  dof_handler.distribute_dofs(fe);
+
+  // FE for normal
+  FESystem<dim, spacedim>   fe_dim(fe, spacedim);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler_dim(tria);
+  dof_handler_dim.distribute_dofs(fe_dim);
+
+  // Set up MappingFEField
+  Vector<double> euler_vector(dof_handler_dim.n_dofs());
+  VectorTools::get_position_vector(dof_handler_dim,
+                                   euler_vector,
+                                   MappingQGeneric<dim, spacedim>(
+                                     mapping_degree));
+  MappingFEField<dim, spacedim> mapping(dof_handler_dim, euler_vector);
+
+
+#if false
+  const unsigned int background_n_global_refinements = 6;
+#else
+  const unsigned int background_n_global_refinements =
+    Utilities::MPI::n_mpi_processes(MPI_COMM_WORLD) == 1 ? 40 : 80;
+#endif
+  const unsigned int background_fe_degree = 2;
+
+  parallel::shared::Triangulation<spacedim> background_tria(
+    MPI_COMM_WORLD, Triangulation<spacedim>::none, true);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_cube(background_tria, -1.0, +1.0);
+#else
+  GridGenerator::subdivided_hyper_cube(background_tria,
+                                       background_n_global_refinements,
+                                       -2.5,
+                                       2.5);
+#endif
+  if (background_n_global_refinements < 20)
+    background_tria.refine_global(background_n_global_refinements);
+
+  FESystem<spacedim>   background_fe_dim(FE_Q<spacedim>{background_fe_degree},
+                                       spacedim);
+  DoFHandler<spacedim> background_dof_handler_dim(background_tria);
+  background_dof_handler_dim.distribute_dofs(background_fe_dim);
+
+  FE_Q<spacedim>       background_fe(background_fe_degree);
+  DoFHandler<spacedim> background_dof_handler(background_tria);
+  background_dof_handler.distribute_dofs(background_fe);
+
+  MappingQ1<spacedim> background_mapping;
+
+  VectorType force_vector_sharp_interface(
+    create_partitioner(background_dof_handler_dim));
+  VectorType normal_vector(create_partitioner(background_dof_handler_dim));
+  VectorType curvature_vector(create_partitioner(background_dof_handler));
+
+  VectorTools::interpolate(background_mapping,
+                           background_dof_handler_dim,
+                           NormalFunction<spacedim>(),
+                           normal_vector);
+
+  VectorTools::interpolate(background_mapping,
+                           background_dof_handler,
+                           CurvatureFunction<spacedim>(),
+                           curvature_vector);
+
+  normal_vector.update_ghost_values();
+  curvature_vector.update_ghost_values();
+
+  // write computed vectors to Paraview
+  if (false)
+    {
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(tria, "grid_surface");
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(background_tria,
+                                                "grid_background");
+    }
+
+  compute_force_vector_sharp_interface(tria,
+                                       mapping,
+                                       QGauss<dim>(fe_degree + 1),
+                                       background_mapping,
+                                       background_dof_handler,
+                                       background_dof_handler_dim,
+                                       1.0,
+                                       normal_vector,
+                                       curvature_vector,
+                                       force_vector_sharp_interface);
+
+  force_vector_sharp_interface.update_ghost_values();
+
+  // write computed vectors to Paraview
+  if (false)
+    {
+      DataOutBase::VtkFlags flags;
+      // flags.write_higher_order_cells = true;
+
+      DataOut<dim, DoFHandler<dim, spacedim>> data_out;
+      data_out.set_flags(flags);
+      data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+      data_out.build_patches(mapping,
+                             fe_degree + 1,
+                             DataOut<dim, DoFHandler<dim, spacedim>>::
+                               CurvedCellRegion::curved_inner_cells);
+      data_out.write_vtu_with_pvtu_record("./",
+                                          "data_surface",
+                                          0,
+                                          MPI_COMM_WORLD);
+    }
+
+  if (false)
+    {
+      DataOutBase::VtkFlags flags;
+      flags.write_higher_order_cells = true;
+
+      DataOut<spacedim> data_out;
+      data_out.set_flags(flags);
+      data_out.add_data_vector(background_dof_handler,
+                               curvature_vector,
+                               "curvature");
+      data_out.add_data_vector(background_dof_handler_dim,
+                               normal_vector,
+                               "normal");
+      data_out.add_data_vector(background_dof_handler_dim,
+                               force_vector_sharp_interface,
+                               "force");
+
+      data_out.build_patches(background_mapping, background_fe_degree + 1);
+      data_out.write_vtu_with_pvtu_record("./",
+                                          "data_background",
+                                          0,
+                                          MPI_COMM_WORLD);
+    }
+
+  force_vector_sharp_interface.print(deallog.get_file_stream());
+}
+
+
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  MPILogInitAll                    all;
+
+  test<1>();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.mpirun=1.output b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.mpirun=1.output
new file mode 100644
index 0000000000..53969a5926
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_02.mpirun=1.output
@@ -0,0 +1,7 @@
+
+Process #0
+Local range: [0, 13122), global size: 13122
+Vector data:
+0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 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+
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index 0000000000..2a557ecf59
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@@ -0,0 +1,39 @@
+
+Process #0
+Local range: [0, 11586), global size: 51842
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(40070/0.000e+00) (40071/0.000e+00) (40072/0.000e+00) (40073/0.000e+00) (40074/0.000e+00) (40075/0.000e+00) (40076/0.000e+00) (40077/0.000e+00) (40078/0.000e+00) (40079/0.000e+00) (40472/0.000e+00) (40473/0.000e+00) (40474/0.000e+00) (40475/0.000e+00) (40476/0.000e+00) (40477/0.000e+00) (40478/0.000e+00) (40479/0.000e+00) (40480/0.000e+00) (40481/0.000e+00) (40482/0.000e+00) (40483/0.000e+00) (40876/0.000e+00) (40877/0.000e+00) (40878/0.000e+00) (40879/0.000e+00) (40880/0.000e+00) (40881/0.000e+00) (40882/0.000e+00) (40883/0.000e+00) (40884/0.000e+00) (40885/0.000e+00) (40886/0.000e+00) (40887/0.000e+00) (41280/0.000e+00) (41281/0.000e+00) (41282/0.000e+00) (41283/0.000e+00) (41284/0.000e+00) (41285/0.000e+00) (41286/0.000e+00) (41287/0.000e+00) (41288/0.000e+00) (41289/0.000e+00) (41290/0.000e+00) (41291/0.000e+00) (41684/0.000e+00) (41685/0.000e+00) (41686/0.000e+00) (41687/0.000e+00) (41688/0.000e+00) (41689/0.000e+00) (41690/0.000e+00) (41691/0.000e+00) (41692/0.000e+00) (41693/0.000e+00) (41694/0.000e+00) (41695/0.000e+00) (42088/0.000e+00) (42089/0.000e+00) (42090/0.000e+00) (42091/0.000e+00) (42092/0.000e+00) (42093/0.000e+00) (42094/0.000e+00) (42095/0.000e+00) (42096/0.000e+00) (42097/0.000e+00) (42098/0.000e+00) (42099/0.000e+00) (42492/0.000e+00) (42493/0.000e+00) (42494/0.000e+00) (42495/0.000e+00) (42496/0.000e+00) (42497/0.000e+00) (42498/0.000e+00) (42499/0.000e+00) (42500/0.000e+00) (42501/0.000e+00) (42502/0.000e+00) (42503/0.000e+00) (42896/0.000e+00) (42897/0.000e+00) (42898/0.000e+00) (42899/0.000e+00) (42900/0.000e+00) (42901/0.000e+00) (42902/0.000e+00) (42903/0.000e+00) (42904/0.000e+00) (42905/0.000e+00) (42906/0.000e+00) (42907/0.000e+00) (43300/0.000e+00) (43301/0.000e+00) (43302/0.000e+00) (43303/0.000e+00) (43304/0.000e+00) (43305/0.000e+00) (43306/0.000e+00) (43307/0.000e+00) (43308/0.000e+00) (43309/0.000e+00) (43310/0.000e+00) (43311/0.000e+00) (43704/0.000e+00) (43705/0.000e+00) (43706/0.000e+00) (43707/0.000e+00) (43708/0.000e+00) (43709/0.000e+00) (43710/0.000e+00) (43711/0.000e+00) (43712/0.000e+00) (43713/0.000e+00) (43714/0.000e+00) (43715/0.000e+00) (44018/0.000e+00) (44019/0.000e+00) (44020/0.000e+00) (44021/0.000e+00) (44022/0.000e+00) (44023/0.000e+00) (44024/0.000e+00) (44025/0.000e+00) (44026/0.000e+00) (44027/0.000e+00) (44028/0.000e+00) (44029/0.000e+00) (44142/0.000e+00) (44143/0.000e+00) (44144/0.000e+00) (44145/0.000e+00) (44146/0.000e+00) (44147/0.000e+00) (44148/0.000e+00) (44149/0.000e+00) (44150/0.000e+00) (44151/0.000e+00) (44152/0.000e+00) (44153/0.000e+00) (44162/0.000e+00) (44163/0.000e+00) (44164/0.000e+00) (44165/0.000e+00) (44166/0.000e+00) (44167/0.000e+00) 
+
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.cc b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.cc
new file mode 100644
index 0000000000..05215e12b6
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.cc
@@ -0,0 +1,462 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Test Utilities::MPI::RemotePointEvaluation by creating a position vector
+// and evaluating the vector at given points and comparing the return value
+// with the point positions.
+
+#include <deal.II/base/mpi.h>
+#include <deal.II/base/mpi_remote_point_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/distributed/shared_tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_nothing.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q_iso_q1.h>
+#include <deal.II/fe/fe_system.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe_field.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+#include <deal.II/grid/grid_out.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools.h>
+#include <deal.II/grid/grid_tools_cache.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_block_vector.h>
+
+#include <deal.II/matrix_free/fe_evaluation.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+
+using VectorType = LinearAlgebra::distributed::Vector<double>;
+
+template <int dim>
+class NormalFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  NormalFunction()
+    : Function<dim>(dim)
+  {}
+
+  double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component) const
+  {
+    return p[component];
+  }
+};
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+namespace dealii
+{
+  namespace VectorTools
+  {
+    template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+    void
+    get_position_vector(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler_dim,
+                        VectorType &                  euler_coordinates_vector,
+                        const Mapping<dim, spacedim> &mapping)
+    {
+      FEValues<dim, spacedim> fe_eval(
+        mapping,
+        dof_handler_dim.get_fe(),
+        Quadrature<dim>(dof_handler_dim.get_fe().get_unit_support_points()),
+        update_quadrature_points);
+
+      Vector<double> temp;
+
+      for (const auto &cell : dof_handler_dim.active_cell_iterators())
+        {
+          if (cell->is_locally_owned() == false)
+            continue;
+
+          fe_eval.reinit(cell);
+
+          temp.reinit(fe_eval.dofs_per_cell);
+
+          for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+            {
+              const auto point = fe_eval.quadrature_point(q);
+
+              const unsigned int comp =
+                dof_handler_dim.get_fe().system_to_component_index(q).first;
+
+              temp[q] = point[comp];
+            }
+
+          cell->set_dof_values(temp, euler_coordinates_vector);
+        }
+
+      euler_coordinates_vector.update_ghost_values();
+    }
+  } // namespace VectorTools
+} // namespace dealii
+
+
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+test_1(const Triangulation<dim, spacedim> &surface_mesh,
+       const Mapping<dim, spacedim> &      surface_mapping,
+       const Quadrature<dim> &             surface_quadrature,
+       const Mapping<spacedim> &           mapping,
+       const DoFHandler<spacedim> &        dof_handler_dim,
+       const VectorType &                  normal_solution)
+{
+  using T = Point<spacedim>;
+
+  const auto integration_points = [&]() {
+    std::vector<Point<spacedim>> integration_points;
+
+    FE_Nothing<dim, spacedim> dummy;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    dummy,
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_quadrature_points);
+
+    for (const auto &cell : surface_mesh.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_points.push_back(fe_eval.quadrature_point(q));
+      }
+
+    return integration_points;
+  }();
+
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<spacedim, spacedim> eval;
+  eval.reinit(integration_points, dof_handler_dim.get_triangulation(), mapping);
+
+  const auto integration_values = [&]() {
+    std::vector<T> integration_values;
+
+    FE_Nothing<dim, spacedim> dummy;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    dummy,
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_quadrature_points);
+
+    for (const auto &cell : surface_mesh.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_values.push_back(fe_eval.quadrature_point(q));
+      }
+
+    return integration_values;
+  }();
+
+  const auto fu = [&](const auto &values, const auto &cell_data) {
+    AffineConstraints<double> constraints; // TODO: use the right ones
+
+    FEPointEvaluation<spacedim, spacedim> phi_normal(mapping,
+                                                     dof_handler_dim.get_fe());
+    FEPointEvaluation<spacedim, spacedim> phi_force(mapping,
+                                                    dof_handler_dim.get_fe());
+
+    std::vector<double>                  buffer;
+    std::vector<double>                  buffer_dim;
+    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices;
+    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices_dim;
+
+    for (unsigned int i = 0; i < cell_data.cells.size(); ++i)
+      {
+        typename DoFHandler<spacedim>::active_cell_iterator cell_dim = {
+          &eval.get_triangulation(),
+          cell_data.cells[i].first,
+          cell_data.cells[i].second,
+          &dof_handler_dim};
+
+        const ArrayView<const Point<spacedim>> unit_points(
+          cell_data.reference_point_values.data() +
+            cell_data.reference_point_ptrs[i],
+          cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+            cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        const ArrayView<const T> JxW(values.data() +
+                                       cell_data.reference_point_ptrs[i],
+                                     cell_data.reference_point_ptrs[i + 1] -
+                                       cell_data.reference_point_ptrs[i]);
+
+        // gather_evaluate normal
+        {
+          local_dof_indices_dim.resize(cell_dim->get_fe().n_dofs_per_cell());
+          buffer_dim.resize(cell_dim->get_fe().n_dofs_per_cell());
+
+          cell_dim->get_dof_indices(local_dof_indices_dim);
+
+          constraints.get_dof_values(normal_solution,
+                                     local_dof_indices_dim.begin(),
+                                     buffer_dim.begin(),
+                                     buffer_dim.end());
+
+          phi_normal.evaluate(cell_dim,
+                              unit_points,
+                              make_array_view(buffer_dim),
+                              EvaluationFlags::values);
+        }
+
+        // perform operation on quadrature points
+        for (unsigned int q = 0; q < unit_points.size(); ++q)
+          {
+            if (JxW[q].distance(Point<spacedim>(phi_normal.get_value(q))) >
+                1e-7)
+              std::cout << JxW[q] << " " << phi_normal.get_value(q)
+                        << std::endl;
+          }
+      }
+  };
+
+  std::vector<T> buffer;
+
+  eval.template process_and_evaluate<T>(integration_values, buffer, fu);
+}
+
+
+
+template <int dim, int spacedim, typename VectorType>
+void
+test_2(const Triangulation<dim, spacedim> &surface_mesh,
+       const Mapping<dim, spacedim> &      surface_mapping,
+       const Quadrature<dim> &             surface_quadrature,
+       const Mapping<spacedim> &           mapping,
+       const DoFHandler<spacedim> &        dof_handler_dim,
+       const VectorType &                  normal_solution)
+{
+  using T = Point<spacedim>;
+
+  const auto integration_points = [&]() {
+    std::vector<Point<spacedim>> integration_points;
+
+    FE_Nothing<dim, spacedim> dummy;
+
+    FEValues<dim, spacedim> fe_eval(surface_mapping,
+                                    dummy,
+                                    surface_quadrature,
+                                    update_quadrature_points);
+
+    for (const auto &cell : surface_mesh.active_cell_iterators())
+      {
+        if (cell->is_locally_owned() == false)
+          continue;
+
+        fe_eval.reinit(cell);
+
+        for (const auto q : fe_eval.quadrature_point_indices())
+          integration_points.push_back(fe_eval.quadrature_point(q));
+      }
+
+    return integration_points;
+  }();
+
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<spacedim, spacedim> eval;
+  eval.reinit(integration_points, dof_handler_dim.get_triangulation(), mapping);
+
+  const auto evaluation_point_results =
+    VectorTools::evaluate_at_points<spacedim>(eval,
+                                              dof_handler_dim,
+                                              normal_solution);
+
+  for (unsigned int i = 0; i < evaluation_point_results.size(); ++i)
+    {
+      if (integration_points[i].distance(
+            Point<spacedim>(evaluation_point_results[i])) > 1e-7)
+        std::cout << integration_points[i] << " " << evaluation_point_results[i]
+                  << std::endl;
+    }
+}
+
+
+
+template <int dim>
+void
+test(const MPI_Comm comm)
+{
+  const unsigned int spacedim = dim + 1;
+
+  const unsigned int fe_degree      = 3;
+  const unsigned int mapping_degree = fe_degree;
+  const unsigned int n_refinements  = 5;
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim, spacedim> tria(
+    comm,
+    Triangulation<dim, spacedim>::none,
+    true,
+    parallel::shared::Triangulation<dim, spacedim>::Settings::partition_zorder);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(), 0.5);
+#else
+  GridGenerator::hyper_sphere(tria, Point<spacedim>(0.02, 0.03), 1.0);
+#endif
+  tria.refine_global(n_refinements);
+
+  // quadrature rule and FE for curvature
+  FE_Q<dim, spacedim>       fe(fe_degree);
+  QGaussLobatto<dim>        quadrature(fe_degree + 1);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler(tria);
+  dof_handler.distribute_dofs(fe);
+
+  // FE for normal
+  FESystem<dim, spacedim>   fe_dim(fe, spacedim);
+  DoFHandler<dim, spacedim> dof_handler_dim(tria);
+  dof_handler_dim.distribute_dofs(fe_dim);
+
+  // Set up MappingFEField
+  Vector<double> euler_vector(dof_handler_dim.n_dofs());
+  VectorTools::get_position_vector(dof_handler_dim,
+                                   euler_vector,
+                                   MappingQGeneric<dim, spacedim>(
+                                     mapping_degree));
+  MappingFEField<dim, spacedim> mapping(dof_handler_dim, euler_vector);
+
+
+#if false
+  const unsigned int background_n_global_refinements = 6;
+#else
+  const unsigned int background_n_global_refinements = 40;
+#endif
+  const unsigned int background_fe_degree = 2;
+
+  parallel::shared::Triangulation<spacedim> background_tria(
+    comm,
+    Triangulation<spacedim>::none,
+    true,
+    parallel::shared::Triangulation<spacedim>::Settings::partition_zorder);
+#if false
+  GridGenerator::hyper_cube(background_tria, -1.0, +1.0);
+#else
+  GridGenerator::subdivided_hyper_cube(background_tria,
+                                       background_n_global_refinements,
+                                       -2.5,
+                                       2.5);
+#endif
+  if (background_n_global_refinements < 20)
+    background_tria.refine_global(background_n_global_refinements);
+
+  FESystem<spacedim>   background_fe_dim(FE_Q<spacedim>{background_fe_degree},
+                                       spacedim);
+  DoFHandler<spacedim> background_dof_handler_dim(background_tria);
+  background_dof_handler_dim.distribute_dofs(background_fe_dim);
+
+  MappingQ1<spacedim> background_mapping;
+
+  VectorType force_vector_sharp_interface(
+    create_partitioner(background_dof_handler_dim));
+  VectorType normal_vector(create_partitioner(background_dof_handler_dim));
+
+  VectorTools::interpolate(background_mapping,
+                           background_dof_handler_dim,
+                           NormalFunction<spacedim>(),
+                           normal_vector);
+
+  normal_vector.update_ghost_values();
+
+  // write computed vectors to Paraview
+  if (true)
+    {
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(tria, "grid_surface");
+      GridOut().write_mesh_per_processor_as_vtu(background_tria,
+                                                "grid_background");
+    }
+
+  test_1(tria,
+         mapping,
+         QGauss<dim>(fe_degree + 1),
+         background_mapping,
+         background_dof_handler_dim,
+         normal_vector);
+  deallog << "OK1!" << std::endl;
+
+  test_2(tria,
+         mapping,
+         QGauss<dim>(fe_degree + 1),
+         background_mapping,
+         background_dof_handler_dim,
+         normal_vector);
+  deallog << "OK2!" << std::endl;
+}
+
+
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  MPILogInitAll                    all;
+
+  const int n_ranks = Utilities::MPI::n_mpi_processes(MPI_COMM_WORLD);
+  const int my_rank = Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD);
+
+  for (int i = 1; i <= n_ranks; ++i)
+    {
+      MPI_Comm comm;
+      MPI_Comm_split(MPI_COMM_WORLD, my_rank < i, my_rank, &comm);
+
+      if (my_rank < i)
+        {
+          deallog.push("n_ranks=" + std::to_string(i));
+          test<1>(comm);
+          deallog.pop();
+        }
+
+      MPI_Comm_free(&comm);
+    }
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.mpirun=8.output b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.mpirun=8.output
new file mode 100644
index 0000000000..be438b4e04
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/remote_point_evaluation_03.mpirun=8.output
@@ -0,0 +1,87 @@
+
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diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.cc b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.cc
new file mode 100644
index 0000000000..0fc0aa7630
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.cc
@@ -0,0 +1,271 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Interpolate solution between non-matching grids.
+
+#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
+
+#include <deal.II/distributed/tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_vector.h>
+#include <deal.II/lac/precondition.h>
+#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
+#include <deal.II/lac/solver_control.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+namespace dealii
+{
+  namespace GridGenerator
+  {
+    template <int dim>
+    void
+    create_annulus(Triangulation<dim> &tria, const unsigned int n_refinements)
+    {
+      // according to the description in A FLEXIBLE, PARALLEL, ADAPTIVE
+      // GEOMETRIC MULTIGRID METHOD FOR FEM (Clevenger, Heister, Kanschat,
+      // Kronbichler): https://arxiv.org/pdf/1904.03317.pdf
+
+      GridGenerator::hyper_cube(tria, -1.0, +1.0);
+
+      if (n_refinements == 0)
+        return;
+
+      for (int i = 0; i < static_cast<int>(n_refinements) - 3; i++)
+        tria.refine_global();
+
+      if (n_refinements >= 1)
+        {
+          for (auto cell : tria.active_cell_iterators())
+            if (cell->is_locally_owned())
+              if (cell->center().norm() < 0.55)
+                cell->set_refine_flag();
+          tria.execute_coarsening_and_refinement();
+        }
+    }
+  } // namespace GridGenerator
+} // namespace dealii
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+template <int dim>
+void
+print(const Mapping<dim> &                              mapping,
+      const DoFHandler<dim> &                           dof_handler,
+      const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &result,
+      const unsigned int                                counter)
+{
+  result.update_ghost_values();
+
+  DataOutBase::VtkFlags flags;
+  flags.write_higher_order_cells = true;
+
+  DataOut<dim> data_out;
+  data_out.set_flags(flags);
+  data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+  const auto &tria = dof_handler.get_triangulation();
+
+  Vector<double> ranks(tria.n_active_cells());
+  for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+    if (cell->is_locally_owned())
+      ranks(cell->active_cell_index()) = cell->subdomain_id();
+  data_out.add_data_vector(ranks, "rank");
+  data_out.add_data_vector(result, "result");
+
+  data_out.build_patches(mapping, dof_handler.get_fe().tensor_degree() + 1);
+  data_out.write_vtu_with_pvtu_record(
+    "./", "example-1", counter, MPI_COMM_WORLD, 1, 1);
+
+  result.zero_out_ghosts();
+}
+
+template <int dim>
+class AnalyticalFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  AnalyticalFunction()
+    : Function<dim>(1)
+  {}
+
+  virtual double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component = 0) const
+  {
+    (void)component;
+
+    return p[0];
+  }
+};
+
+void
+test()
+{
+  const unsigned int dim             = 2;
+  const unsigned int degree          = 2;
+  const unsigned int n_refinements_1 = 3;
+  const unsigned int n_refinements_2 = 5;
+
+  parallel::distributed::Triangulation<dim> tria_1(MPI_COMM_WORLD);
+#if true
+  GridGenerator::hyper_cube(tria_1, -1.0, +1.0);
+  tria_1.refine_global(n_refinements_1);
+#else
+  GridGenerator::create_annulus(tria_1, n_refinements_2);
+#endif
+  DoFHandler<dim> dof_handler_1(tria_1);
+  FE_Q<dim>       fe_1(degree);
+  dof_handler_1.distribute_dofs(fe_1);
+
+  parallel::distributed::Triangulation<dim> tria_2(MPI_COMM_WORLD);
+#if true
+  GridGenerator::create_annulus(tria_2, n_refinements_2);
+#else
+  GridGenerator::hyper_cube(tria_2, -1.0, +1.0);
+  tria_2.refine_global(n_refinements_1);
+#endif
+  DoFHandler<dim>           dof_handler_2(tria_2);
+  FE_DGQArbitraryNodes<dim> fe_2(QGauss<1>(degree + 1).get_points());
+  dof_handler_2.distribute_dofs(fe_2);
+
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_1(
+    create_partitioner(dof_handler_1));
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_1;
+  VectorTools::interpolate(mapping_1,
+                           dof_handler_1,
+                           AnalyticalFunction<dim>(),
+                           vector_1);
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_2;
+  const QGauss<dim>    quadrature_2(degree + 1);
+  FEValues<dim>        fe_values_2(mapping_2,
+                            fe_2,
+                            quadrature_2,
+                            update_quadrature_points);
+
+  std::vector<Point<dim>> evaluation_points;
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+      evaluation_points.insert(evaluation_points.end(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().begin(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().end());
+    }
+
+  vector_1.update_ghost_values();
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim> evaluation_cache;
+  const auto evaluation_point_results = VectorTools::evaluate_at_points<1>(
+    mapping_1, dof_handler_1, vector_1, evaluation_points, evaluation_cache);
+  vector_1.zero_out_ghosts();
+
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_2(
+    create_partitioner(dof_handler_2));
+
+  auto ptr = evaluation_point_results.begin();
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+
+      Vector<double> temp(ptr, ptr + fe_values_2.n_quadrature_points);
+
+      cell->set_dof_values(temp, vector_2);
+
+      ptr += fe_values_2.n_quadrature_points;
+    }
+
+  if (false)
+    {
+      print(mapping_1, dof_handler_1, vector_1, 0);
+      print(mapping_2, dof_handler_2, vector_2, 1);
+      vector_1.print(deallog.get_file_stream());
+      vector_2.print(deallog.get_file_stream());
+    }
+
+  Vector<double> difference(tria_2.n_active_cells());
+
+  VectorTools::integrate_difference(mapping_2,
+                                    dof_handler_2,
+                                    vector_2,
+                                    AnalyticalFunction<dim>(),
+                                    difference,
+                                    quadrature_2,
+                                    VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+  double error =
+    VectorTools::compute_global_error(tria_2,
+                                      difference,
+                                      VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+
+  if (Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD))
+    deallog << error << std::endl;
+}
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  initlog();
+
+  test();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.mpirun=8.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.mpirun=8.output
new file mode 100644
index 0000000000..846f901247
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_01.mpirun=8.output
@@ -0,0 +1,2 @@
+
+DEAL::8.23433e-17
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.cc b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.cc
new file mode 100644
index 0000000000..0b6a01540e
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.cc
@@ -0,0 +1,347 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Solve iteratively the domain-decomposition problem.
+
+#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
+
+#include <deal.II/distributed/shared_tria.h>
+#include <deal.II/distributed/tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+#include <deal.II/grid/grid_in.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_vector.h>
+#include <deal.II/lac/precondition.h>
+#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
+#include <deal.II/lac/solver_control.h>
+#include <deal.II/lac/trilinos_sparse_matrix.h>
+#include <deal.II/lac/trilinos_sparsity_pattern.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+
+template <int dim>
+void
+print(const Mapping<dim> &                              mapping,
+      const DoFHandler<dim> &                           dof_handler,
+      const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &result,
+      const unsigned int                                counter)
+{
+  result.update_ghost_values();
+  DataOutBase::VtkFlags flags;
+  if (counter == 0)
+    flags.write_higher_order_cells = true;
+
+  DataOut<dim> data_out;
+  data_out.set_flags(flags);
+  data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+  const auto &tria = dof_handler.get_triangulation();
+
+  Vector<double> ranks(tria.n_active_cells());
+  for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+    if (cell->is_locally_owned())
+      ranks(cell->active_cell_index()) = cell->subdomain_id();
+  data_out.add_data_vector(ranks, "rank");
+  data_out.add_data_vector(result, "result");
+
+  data_out.build_patches(
+    mapping,
+    std::min<unsigned int>(2, dof_handler.get_fe().tensor_degree() + 1));
+  data_out.write_vtu_with_pvtu_record(
+    "./", "example-2", counter, MPI_COMM_WORLD, 1, 1);
+
+  result.zero_out_ghosts();
+}
+
+template <int dim>
+class PoissonProblem
+{
+public:
+  PoissonProblem(const Triangulation<dim> &tria,
+                 const unsigned int        id,
+                 const Mapping<dim> &      mapping,
+                 const FiniteElement<dim> &fe,
+                 const Quadrature<dim> &   quad)
+    : id(id)
+    , mapping(mapping)
+    , fe(fe)
+    , quad(quad)
+    , dof_handler(tria)
+  {
+    dof_handler.distribute_dofs(fe);
+    partitioner = create_partitioner(dof_handler);
+    solution.reinit(partitioner);
+
+    print(mapping, dof_handler, solution, id);
+  }
+
+  void
+  solve(const DoFHandler<dim> &                           dof_handler_other,
+        const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &solution_other,
+        const Mapping<dim> &                              mapping_other)
+  {
+    AffineConstraints<double> constraints;
+    {
+      std::map<types::global_dof_index, Point<dim>> support_points;
+
+      DoFTools::map_dofs_to_support_points(mapping,
+                                           dof_handler,
+                                           support_points);
+
+      std::vector<types::global_dof_index> global_ids;
+
+      for (const auto &cell : dof_handler.active_cell_iterators())
+        {
+          if (cell->is_locally_owned() == false)
+            continue;
+
+          for (const auto &face : cell->face_iterators())
+            {
+              if (face->at_boundary() == false)
+                continue;
+
+              std::vector<types::global_dof_index> dofs_on_face(
+                dof_handler.get_fe().n_dofs_per_face());
+              face->get_dof_indices(dofs_on_face);
+
+              global_ids.insert(global_ids.end(),
+                                dofs_on_face.begin(),
+                                dofs_on_face.end());
+            }
+        }
+
+      std::sort(global_ids.begin(), global_ids.end());
+      global_ids.erase(unique(global_ids.begin(), global_ids.end()),
+                       global_ids.end());
+
+      std::vector<Point<dim>> evaluation_points;
+      evaluation_points.reserve(global_ids.size());
+
+      for (const auto &global_id : global_ids)
+        evaluation_points.push_back(support_points[global_id]);
+
+      solution_other.update_ghost_values();
+      Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim> evaluation_cache;
+      const auto                                 evaluation_point_results =
+        VectorTools::evaluate_at_points<1>(mapping_other,
+                                           dof_handler_other,
+                                           solution_other,
+                                           evaluation_points,
+                                           evaluation_cache);
+      solution_other.zero_out_ghosts();
+      for (unsigned int i = 0; i < evaluation_points.size(); ++i)
+        {
+          if (global_ids[i] == numbers::invalid_size_type)
+            continue;
+
+          constraints.add_line(global_ids[i]);
+          constraints.set_inhomogeneity(global_ids[i],
+                                        evaluation_point_results[i]);
+        }
+    }
+    constraints.close();
+
+    {
+      // initialize vectors and system matrix
+      LinearAlgebra::distributed::Vector<double> b;
+      b.reinit(partitioner);
+
+      TrilinosWrappers::SparseMatrix A;
+
+      TrilinosWrappers::SparsityPattern dsp(dof_handler.locally_owned_dofs(),
+                                            get_mpi_comm(dof_handler));
+      DoFTools::make_sparsity_pattern(dof_handler, dsp, constraints, false);
+      dsp.compress();
+      A.reinit(dsp);
+
+      // assemble right-hand side and system matrix
+      FEValues<dim> fe_values(mapping,
+                              fe,
+                              quad,
+                              update_values | update_gradients |
+                                update_JxW_values);
+
+      FullMatrix<double>                   cell_matrix;
+      Vector<double>                       cell_rhs;
+      std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices;
+
+      // loop over all cells
+      for (const auto &cell : dof_handler.active_cell_iterators())
+        {
+          if (cell->is_locally_owned() == false)
+            continue;
+
+          fe_values.reinit(cell);
+
+          const unsigned int dofs_per_cell = cell->get_fe().dofs_per_cell;
+          cell_matrix.reinit(dofs_per_cell, dofs_per_cell);
+          cell_rhs.reinit(dofs_per_cell);
+
+          // loop over cell dofs
+          for (const auto q : fe_values.quadrature_point_indices())
+            {
+              for (const auto i : fe_values.dof_indices())
+                for (const auto j : fe_values.dof_indices())
+                  cell_matrix(i, j) +=
+                    (fe_values.shape_grad(i, q) * // grad phi_i(x_q)
+                     fe_values.shape_grad(j, q) * // grad phi_j(x_q)
+                     fe_values.JxW(q));           // dx
+
+              for (const unsigned int i : fe_values.dof_indices())
+                cell_rhs(i) += (fe_values.shape_value(i, q) * // phi_i(x_q)
+                                1. *                          // f(x_q)
+                                fe_values.JxW(q));            // dx
+            }
+
+          local_dof_indices.resize(cell->get_fe().dofs_per_cell);
+          cell->get_dof_indices(local_dof_indices);
+
+          constraints.distribute_local_to_global(
+            cell_matrix, cell_rhs, local_dof_indices, A, b);
+        }
+
+      b.compress(VectorOperation::values::add);
+      A.compress(VectorOperation::values::add);
+
+      // solve linear equation system
+      ReductionControl                                     reduction_control;
+      SolverCG<LinearAlgebra::distributed::Vector<double>> solver(
+        reduction_control);
+      solver.solve(A, solution, b, PreconditionIdentity());
+
+      if (Utilities::MPI::this_mpi_process(
+            get_mpi_comm(dof_handler.get_triangulation())) == 0)
+        deallog << "Solved in " << reduction_control.last_step()
+                << " iterations." << std::endl;
+
+      constraints.distribute(solution);
+    }
+
+    print(mapping, dof_handler, solution, id);
+  }
+
+public:
+  const unsigned int                                 id;
+  const Mapping<dim> &                               mapping;
+  const FiniteElement<dim> &                         fe;
+  const Quadrature<dim> &                            quad;
+  DoFHandler<dim>                                    dof_handler;
+  std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner> partitioner;
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double>         solution;
+};
+
+void
+test()
+{
+  const unsigned int dim             = 2;
+  const unsigned int n_refinements_1 = 4;
+  const unsigned int n_refinements_2 = 4;
+
+  const MappingQGeneric<dim> mapping_1(1);
+  const FE_Q<dim>            fe_1(2);
+  const QGauss<dim>          quad_1(3);
+
+#if false
+  const MappingFE<dim>     mapping_2(Simplex::FE_P<dim>(1));
+  const Simplex::FE_P<dim> fe_2(2);
+  const Simplex::QGauss<dim>        quad_2(3);
+#else
+  const MappingQGeneric<dim> mapping_2(1);
+  const FE_Q<dim>            fe_2(2);
+  const QGauss<dim>          quad_2(3);
+#endif
+
+  parallel::distributed::Triangulation<dim> tria_1(MPI_COMM_WORLD);
+  GridGenerator::hyper_ball(tria_1);
+  tria_1.refine_global(n_refinements_1);
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim> tria_2(MPI_COMM_WORLD);
+#if false
+  GridIn<dim> grid_in;
+  grid_in.attach_triangulation(tria_2);
+  std::ifstream input_file("bar.msh");
+  grid_in.read_msh(input_file);
+#else
+  GridGenerator::hyper_rectangle(tria_2, {0.0, -0.5}, {2.0, 0.5});
+  tria_2.refine_global(n_refinements_2);
+#endif
+
+  PoissonProblem<dim> pp_1(tria_1, 0, mapping_1, fe_1, quad_1);
+  PoissonProblem<dim> pp_2(tria_2, 1, mapping_2, fe_2, quad_2);
+
+  for (unsigned int i = 0; i < 10; ++i)
+    {
+      pp_1.solve(pp_2.dof_handler, pp_2.solution, mapping_2);
+      pp_2.solve(pp_1.dof_handler, pp_1.solution, mapping_1);
+
+      // break;
+    }
+
+  pp_1.solution.print(deallog.get_file_stream());
+  pp_2.solution.print(deallog.get_file_stream());
+}
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  MPILogInitAll                    all;
+
+  test();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.mpirun=8.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.mpirun=8.output
new file mode 100644
index 0000000000..12aad7822a
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_02.mpirun=8.output
@@ -0,0 +1,419 @@
+
+DEAL:0:cg::Starting value 0.0527135
+DEAL:0:cg::Convergence step 94 value 0.000521066
+DEAL:0::Solved in 94 iterations.
+DEAL:0:cg::Starting value 2.26491
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diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.cc b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.cc
new file mode 100644
index 0000000000..e01ac892e4
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.cc
@@ -0,0 +1,250 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Interpolate result between non-matching grids.
+
+#include <deal.II/base/function_lib.h>
+#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
+
+#include <deal.II/distributed/shared_tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_vector.h>
+#include <deal.II/lac/precondition.h>
+#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
+#include <deal.II/lac/solver_control.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+template <int dim>
+void
+print(const Mapping<dim> &                              mapping,
+      const DoFHandler<dim> &                           dof_handler,
+      const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &result,
+      const unsigned int                                counter)
+{
+  result.update_ghost_values();
+
+  DataOutBase::VtkFlags flags;
+  flags.write_higher_order_cells = true;
+
+  DataOut<dim> data_out;
+  data_out.set_flags(flags);
+  data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+  const auto &tria = dof_handler.get_triangulation();
+
+  Vector<double> ranks(tria.n_active_cells());
+  for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+    if (cell->is_locally_owned())
+      ranks(cell->active_cell_index()) = cell->subdomain_id();
+  data_out.add_data_vector(ranks, "rank");
+  data_out.add_data_vector(result, "result");
+
+  data_out.build_patches(mapping, dof_handler.get_fe().tensor_degree() + 1);
+  data_out.write_vtu_with_pvtu_record(
+    "./", "example-3", counter, MPI_COMM_WORLD, 1, 1);
+
+  result.zero_out_ghosts();
+}
+
+void
+test()
+{
+  const unsigned int dim    = 2;
+  const unsigned int degree = 2;
+
+  const auto create_triangulation = [](auto &tria) {
+    GridGenerator::hyper_ball(tria);
+    tria.refine_global(1);
+    for (unsigned int i = 0; i < 3; ++i)
+      {
+        for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+          if (cell->barycenter()[0] > 0.0)
+            cell->set_refine_flag();
+        tria.execute_coarsening_and_refinement();
+      }
+  };
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim> tria_1(
+    MPI_COMM_WORLD,
+    Triangulation<dim>::MeshSmoothing::none,
+    false,
+    parallel::shared::Triangulation<dim>::Settings::partition_auto);
+  create_triangulation(tria_1);
+
+  DoFHandler<dim> dof_handler_1(tria_1);
+  FE_Q<dim>       fe_1(degree);
+  dof_handler_1.distribute_dofs(fe_1);
+
+  parallel::shared::Triangulation<dim> tria_2(
+    MPI_COMM_WORLD,
+    Triangulation<dim>::MeshSmoothing::none,
+    false,
+    parallel::shared::Triangulation<dim>::Settings::partition_custom_signal);
+  tria_2.signals.post_refinement.connect([&tria_2]() {
+    for (const auto &cell : tria_2.active_cell_iterators())
+      {
+        const auto point = cell->center();
+        if (point[0] < 0.0 && point[1] < 0.0)
+          cell->set_subdomain_id(0);
+        else if (point[0] >= 0.0 && point[1] < 0.0)
+          cell->set_subdomain_id(1);
+        else if (point[0] < 0.0 && point[1] >= 0.0)
+          cell->set_subdomain_id(2);
+        else if (point[0] >= 0.0 && point[1] >= 0.0)
+          cell->set_subdomain_id(3);
+      }
+  });
+
+
+  create_triangulation(tria_2);
+
+  DoFHandler<dim>           dof_handler_2(tria_2);
+  FE_DGQArbitraryNodes<dim> fe_2(QGauss<1>(degree + 1).get_points());
+  dof_handler_2.distribute_dofs(fe_2);
+
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_1(
+    create_partitioner(dof_handler_1));
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_1;
+  VectorTools::interpolate(mapping_1,
+                           dof_handler_1,
+                           Functions::CosineFunction<2>(),
+                           vector_1);
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_2;
+  const QGauss<dim>    quadrature_2(degree + 1);
+  FEValues<dim>        fe_values_2(mapping_2,
+                            fe_2,
+                            quadrature_2,
+                            update_quadrature_points);
+
+  std::vector<Point<dim>> evaluation_points;
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+      evaluation_points.insert(evaluation_points.end(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().begin(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().end());
+    }
+
+  vector_1.update_ghost_values();
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim> evaluation_cache;
+  const auto evaluation_point_results = VectorTools::evaluate_at_points<1>(
+    mapping_1, dof_handler_1, vector_1, evaluation_points, evaluation_cache);
+  vector_1.zero_out_ghosts();
+
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_2(
+    create_partitioner(dof_handler_2));
+
+  auto ptr = evaluation_point_results.begin();
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+
+      Vector<double> temp(ptr, ptr + fe_values_2.n_quadrature_points);
+
+      cell->set_dof_values(temp, vector_2);
+
+      ptr += fe_values_2.n_quadrature_points;
+    }
+
+  if (false)
+    {
+      print(mapping_1, dof_handler_1, vector_1, 0);
+      print(mapping_2, dof_handler_2, vector_2, 1);
+
+      vector_1.print(deallog.get_file_stream());
+      vector_2.print(deallog.get_file_stream());
+    }
+
+  Vector<double> difference(tria_2.n_active_cells());
+
+  VectorTools::integrate_difference(mapping_2,
+                                    dof_handler_2,
+                                    vector_2,
+                                    Functions::CosineFunction<2>(),
+                                    difference,
+                                    quadrature_2,
+                                    VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+  double error =
+    VectorTools::compute_global_error(tria_2,
+                                      difference,
+                                      VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+
+  if (Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD))
+    deallog << error << std::endl;
+}
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  initlog();
+
+  test();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.mpirun=4.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.mpirun=4.output
new file mode 100644
index 0000000000..c9948716c4
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_03.mpirun=4.output
@@ -0,0 +1,2 @@
+
+DEAL::0.00217987
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.cc b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.cc
new file mode 100644
index 0000000000..e40405734f
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.cc
@@ -0,0 +1,177 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Evaluate solution vector along a line.
+
+#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
+
+#include <deal.II/distributed/tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_vector.h>
+#include <deal.II/lac/precondition.h>
+#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
+#include <deal.II/lac/solver_control.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+template <int dim>
+void
+print(const Mapping<dim> &                              mapping,
+      const DoFHandler<dim> &                           dof_handler,
+      const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &result,
+      const unsigned int                                counter)
+{
+  result.update_ghost_values();
+
+  DataOutBase::VtkFlags flags;
+  flags.write_higher_order_cells = true;
+
+  DataOut<dim> data_out;
+  data_out.set_flags(flags);
+  data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+  const auto &tria = dof_handler.get_triangulation();
+
+  Vector<double> ranks(tria.n_active_cells());
+  for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+    if (cell->is_locally_owned())
+      ranks(cell->active_cell_index()) = cell->subdomain_id();
+  data_out.add_data_vector(ranks, "rank");
+  data_out.add_data_vector(result, "result");
+
+  data_out.build_patches(mapping, dof_handler.get_fe().tensor_degree() + 1);
+  data_out.write_vtu_with_pvtu_record(
+    "./", "example-1", counter, MPI_COMM_WORLD, 1, 1);
+
+  result.zero_out_ghosts();
+}
+
+template <int dim>
+class AnalyticalFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  AnalyticalFunction()
+    : Function<dim>(1)
+  {}
+
+  virtual double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component = 0) const
+  {
+    (void)component;
+
+    return p[0];
+  }
+};
+
+void
+test()
+{
+  const unsigned int dim             = 2;
+  const unsigned int degree          = 2;
+  const unsigned int n_refinements_1 = 3;
+
+  parallel::distributed::Triangulation<dim> tria_1(MPI_COMM_WORLD);
+  GridGenerator::hyper_cube(tria_1, -1.0, +1.0);
+  tria_1.refine_global(n_refinements_1);
+  DoFHandler<dim> dof_handler_1(tria_1);
+  FE_Q<dim>       fe_1(degree);
+  dof_handler_1.distribute_dofs(fe_1);
+
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_1(
+    create_partitioner(dof_handler_1));
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_1;
+  VectorTools::interpolate(mapping_1,
+                           dof_handler_1,
+                           AnalyticalFunction<dim>(),
+                           vector_1);
+
+  std::vector<Point<dim>> evaluation_points;
+
+  const unsigned int n_intervals = 100;
+
+  if (Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD) == 0)
+    for (unsigned int i = 0; i <= n_intervals; ++i)
+      evaluation_points.emplace_back(-1.0 + 2.0 / n_intervals * i, 0.0);
+
+  vector_1.update_ghost_values();
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim> evaluation_cache;
+  const auto evaluation_point_results = VectorTools::evaluate_at_points<1>(
+    mapping_1, dof_handler_1, vector_1, evaluation_points, evaluation_cache);
+  vector_1.zero_out_ghosts();
+
+  if (Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD) == 0)
+    for (unsigned int i = 0; i <= n_intervals; ++i)
+      {
+        if (std::abs(evaluation_points[i][0] - evaluation_point_results[i]) >
+            1e-10)
+          Assert(false, ExcNotImplemented());
+      }
+
+  deallog << "OK!" << std::endl;
+}
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  initlog();
+
+  test();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=1.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=1.output
new file mode 100644
index 0000000000..5cfb783b8f
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=1.output
@@ -0,0 +1,2 @@
+
+DEAL::OK!
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=4.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=4.output
new file mode 100644
index 0000000000..5cfb783b8f
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_04.mpirun=4.output
@@ -0,0 +1,2 @@
+
+DEAL::OK!
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.cc b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.cc
new file mode 100644
index 0000000000..987bb01495
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.cc
@@ -0,0 +1,240 @@
+// ---------------------------------------------------------------------
+//
+// Copyright (C) 2021 by the deal.II authors
+//
+// This file is part of the deal.II library.
+//
+// The deal.II library is free software; you can use it, redistribute
+// it, and/or modify it under the terms of the GNU Lesser General
+// Public License as published by the Free Software Foundation; either
+// version 2.1 of the License, or (at your option) any later version.
+// The full text of the license can be found in the file LICENSE.md at
+// the top level directory of deal.II.
+//
+// ---------------------------------------------------------------------
+
+// Create a slice.
+
+#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
+
+#include <deal.II/distributed/tria.h>
+
+#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
+#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
+
+#include <deal.II/fe/fe_dgq.h>
+#include <deal.II/fe/fe_point_evaluation.h>
+#include <deal.II/fe/fe_q.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_fe.h>
+#include <deal.II/fe/mapping_q_generic.h>
+
+#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
+
+#include <deal.II/lac/la_parallel_vector.h>
+#include <deal.II/lac/precondition.h>
+#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
+#include <deal.II/lac/solver_control.h>
+
+#include <deal.II/numerics/data_out.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
+#include <deal.II/numerics/vector_tools_evaluate.h>
+
+#include "../tests.h"
+
+using namespace dealii;
+
+template <typename MeshType>
+MPI_Comm
+get_mpi_comm(const MeshType &mesh)
+{
+  const auto *tria_parallel = dynamic_cast<
+    const parallel::TriangulationBase<MeshType::dimension,
+                                      MeshType::space_dimension> *>(
+    &(mesh.get_triangulation()));
+
+  return tria_parallel != nullptr ? tria_parallel->get_communicator() :
+                                    MPI_COMM_SELF;
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+std::shared_ptr<const Utilities::MPI::Partitioner>
+create_partitioner(const DoFHandler<dim, spacedim> &dof_handler)
+{
+  IndexSet locally_relevant_dofs;
+
+  DoFTools::extract_locally_relevant_dofs(dof_handler, locally_relevant_dofs);
+
+  return std::make_shared<const Utilities::MPI::Partitioner>(
+    dof_handler.locally_owned_dofs(),
+    locally_relevant_dofs,
+    get_mpi_comm(dof_handler));
+}
+
+template <int dim, int spacedim>
+void
+print(const Mapping<dim, spacedim> &                    mapping,
+      const DoFHandler<dim, spacedim> &                 dof_handler,
+      const LinearAlgebra::distributed::Vector<double> &result,
+      const unsigned int                                counter)
+{
+  result.update_ghost_values();
+
+  DataOutBase::VtkFlags flags;
+  if (dim == spacedim)
+    flags.write_higher_order_cells = true;
+
+  DataOut<dim, DoFHandler<dim, spacedim>> data_out;
+  data_out.set_flags(flags);
+  data_out.attach_dof_handler(dof_handler);
+
+  const auto &tria = dof_handler.get_triangulation();
+
+  Vector<double> ranks(tria.n_active_cells());
+  for (const auto &cell : tria.active_cell_iterators())
+    if (cell->is_locally_owned())
+      ranks(cell->active_cell_index()) = cell->subdomain_id();
+  data_out.add_data_vector(ranks, "rank");
+  data_out.add_data_vector(result, "result");
+
+  data_out.build_patches(mapping, dof_handler.get_fe().tensor_degree() + 1);
+  data_out.write_vtu_with_pvtu_record(
+    "./", "example-1", counter, MPI_COMM_WORLD, 1, 1);
+
+  result.zero_out_ghosts();
+}
+
+template <int dim>
+class AnalyticalFunction : public Function<dim>
+{
+public:
+  AnalyticalFunction()
+    : Function<dim>(1)
+  {}
+
+  virtual double
+  value(const Point<dim> &p, const unsigned int component = 0) const
+  {
+    (void)component;
+
+    return p[0] * p[0] + p[1] * p[1] + p[2] * p[2];
+  }
+};
+
+void
+test()
+{
+  const unsigned int dim             = 3;
+  const unsigned int degree          = 2;
+  const unsigned int n_refinements_1 = 2;
+  const unsigned int n_refinements_2 = 3;
+
+  // backgroud mesh
+  parallel::distributed::Triangulation<dim> tria_1(MPI_COMM_WORLD);
+  GridGenerator::hyper_cube(tria_1, -1.0, +1.0);
+  tria_1.refine_global(n_refinements_1);
+  DoFHandler<dim> dof_handler_1(tria_1);
+  FE_Q<dim>       fe_1(degree);
+  dof_handler_1.distribute_dofs(fe_1);
+
+  // slice mesh
+  parallel::distributed::Triangulation<dim - 1, dim> tria_2(MPI_COMM_WORLD);
+  GridGenerator::hyper_cube(tria_2, -1.0, +1.0);
+  tria_2.refine_global(n_refinements_2);
+  DoFHandler<dim - 1, dim>           dof_handler_2(tria_2);
+  FE_DGQArbitraryNodes<dim - 1, dim> fe_2(QGauss<1>(degree + 1).get_points());
+  dof_handler_2.distribute_dofs(fe_2);
+
+  // create a vector on the background mesh
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_1(
+    create_partitioner(dof_handler_1));
+
+  const MappingQ1<dim> mapping_1;
+  VectorTools::interpolate(mapping_1,
+                           dof_handler_1,
+                           AnalyticalFunction<dim>(),
+                           vector_1);
+
+  // collect support points of slice mesh
+  const MappingQ1<dim - 1, dim> mapping_2;
+  const QGauss<dim - 1>         quadrature_2(degree + 1);
+  FEValues<dim - 1, dim>        fe_values_2(mapping_2,
+                                     fe_2,
+                                     quadrature_2,
+                                     update_quadrature_points);
+
+  std::vector<Point<dim>> evaluation_points;
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+      evaluation_points.insert(evaluation_points.end(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().begin(),
+                               fe_values_2.get_quadrature_points().end());
+    }
+
+  // evaluate vector of background mesh for slice support points
+  vector_1.update_ghost_values();
+  Utilities::MPI::RemotePointEvaluation<dim> evaluation_cache;
+  const auto evaluation_point_results = VectorTools::evaluate_at_points<1>(
+    mapping_1, dof_handler_1, vector_1, evaluation_points, evaluation_cache);
+  vector_1.zero_out_ghosts();
+
+  // fill a global (slice) vector
+  LinearAlgebra::distributed::Vector<double> vector_2(
+    create_partitioner(dof_handler_2));
+
+  auto ptr = evaluation_point_results.begin();
+  for (const auto &cell : dof_handler_2.active_cell_iterators())
+    {
+      if (cell->is_locally_owned() == false)
+        continue;
+
+      fe_values_2.reinit(cell);
+
+      Vector<double> temp(ptr, ptr + fe_values_2.n_quadrature_points);
+
+      cell->set_dof_values(temp, vector_2);
+
+      ptr += fe_values_2.n_quadrature_points;
+    }
+
+  // output background and slice solution
+  if (false)
+    {
+      print(mapping_1, dof_handler_1, vector_1, 0);
+      print(mapping_2, dof_handler_2, vector_2, 1);
+      vector_1.print(deallog.get_file_stream());
+      vector_2.print(deallog.get_file_stream());
+    }
+
+
+  Vector<double> difference(tria_2.n_active_cells());
+
+  VectorTools::integrate_difference(mapping_2,
+                                    dof_handler_2,
+                                    vector_2,
+                                    AnalyticalFunction<dim>(),
+                                    difference,
+                                    quadrature_2,
+                                    VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+  double error =
+    VectorTools::compute_global_error(tria_2,
+                                      difference,
+                                      VectorTools::NormType::L2_norm);
+
+
+  if (Utilities::MPI::this_mpi_process(MPI_COMM_WORLD))
+    deallog << error << std::endl;
+}
+
+int
+main(int argc, char **argv)
+{
+  Utilities::MPI::MPI_InitFinalize mpi(argc, argv, 1);
+  initlog();
+
+  test();
+}
diff --git a/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.mpirun=4.output b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.mpirun=4.output
new file mode 100644
index 0000000000..8e6301fe71
--- /dev/null
+++ b/tests/remote_point_evaluation/vector_tools_evaluate_at_points_05.mpirun=4.output
@@ -0,0 +1,2 @@
+
+DEAL::1.87236e-16
-- 
2.39.5